愛因斯坦“時空場”方程式

by allenlu2007

愛因斯坦受了 Michelson 實驗光速在“以太”不同相對速度都不變，以及 Lorentz 對此提出的 Lorentz 變換 (相對於 Gelileo 變換) 的影響。提出狹義相對論的兩大定理（假設），而推導出狹義相對論。

  1. 所有物理定律和慣性座標系無關 (covariant principle)，不同慣性座標系對應不同慣性相對運動的觀察者。
  2. 光速在所有慣性座標系是不變且是極速 (invariant)

定理一稱為（狹義）相對性原理。意即所有慣性座標系（系統）都是相對而且等價。沒有哪一個座標系比較獨特。一般靜止的座標系只是相對地球是靜止。對於月球，太陽，或是宇宙中的觀察者，地球上靜止的座標系事實上是近似等速直線運動。（狹義）相對性原理在 Galileo 和牛頓就提出。牛頓力學本身就符合（狹義）相對性原理。

愛因斯坦真正的突破是提出定理二。時間和空間因而連結成為四維時空。推導出一系列令人驚訝的結果：時間膨脹，長度收縮，質能互換。愛因斯坦的老師 Minkovsky 引入閔式空間: (x_0, x_2, x_3, x_4) 替代 (ict, x, y, z) . 一開始愛因斯坦並沒有 appreciate 閔式空間。閔式時空 (space-time) 引入微分幾何的觀念，為後來的廣義相對論開路。閔式空間和歐式空間一樣是平直空間。其微分第一基本式 (1st fundmental form)
ds^2 = -dx_0^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2 (平直空間 cross terms = 0)
也就是時空(ds )座標不變 (invariant)! 所以時間膨脹和長度收縮就是保持 ds 不變。相對於歐式空間時間和空間是互相獨立。

後來廣義相對論再把閔式空間推向黎曼空間，從平直空間推廣到彎曲空間。

廣義相對論的定理

愛因斯坦深受馬赫所有運動都是相對的影響，對於狹義相對論的定理只適用於慣性座標系，也就是慣性座標系的特殊地位並不滿意。由此提出廣義相對論的三個定理。

  1. 所有物理定律和（慣性和非慣性）四維時空座標系無關 (invariant->covariant?)
  2. 光速在所有（慣性和非慣性）四維時空座標系是不變且是極速 (invariant)
  3. 非慣性或加速座標系觀察的慣性力和慣性座標系的引力等效（等效原理）

廣義相對論的重點：

  1. 移除慣性座標系的特殊地位。
  2. 牛頓的引力定律 (F = \frac{GMm}{r^2}) 不滿足四維時空座標系不變，需要修正。
  3. 牛頓的引力是超距力違背光速極速。（=>需要場論）

一個想法是導入引力場滿足 Lorentz 變換，類似電磁場方程式。引力波的速度等於或小於光速。如果只是這樣，愛因斯坦就無法名垂千古。愛因斯坦思考的是更深層的問題。
電磁場波動方程式是一個嵌入在時空框架的波動。愛因斯坦時空場方程式是時空框架內禀的彎曲，把引力場的運動方程式變成一個靜止幾何彎曲空間的地直線理論。

這個思考的邏輯如下：
始於等效原理。比薩斜塔丟下的鉛球，鐵球，鋁球，棒球，同時落地，為什麼？牛頓的解釋是萬有引力定律的重力質量 m_g 和運動定律的慣性質量 m_i 相等，F = \frac{GMm_g}{r^2} = m_i a or a = \frac{GM}{r^2} . 也就是運動本身和球的特性（質量）無關。愛因斯坦認為這不是巧合，其中有非常深刻的意義。

如果你不覺得這有什麼特別（其實我中學完全不懂有什麼特別），可以比較電磁理論的庫倫定律，F = \frac{KQq}{r^2} = m_i a . 形式看起來一樣，但電磁力和慣性質量毫無關係。其他的各種力（磁力，弱力，核力）也都和慣性質量無關。這也是愛因斯坦時空場理論並不是另一個類似電磁場 Maxwell equations 的波動方程式。

愛因斯坦對於比薩斜塔的實驗的解釋非常符合 Occam razor 原則。所有的球都同時落地，最簡單的解釋就是所有的球都沒動，而是觀察者做了一個反向的加速運動。愛因斯坦是用封閉電梯或是火箭的思想實驗，在沒有引力的外太空火箭頂端放了鉛球，鐵球，鋁球，棒球。火箭一加速對於關在火箭內的觀察者會認為所有的球同時落地。

因此我們可以把引力等效轉換成加速座標系的觀察者 A。相對於火箭外的靜止觀察者 B，自始自終這些球都是靜止不動。

我們先以 B 劃一個四維平直時空座標。靜止的球形成一條幾何上直的世界線（worldline), 對應這個平直空間是一條直線。在這個四維空間再劃上 A 的時空座標。因為 A 是等加速運動的觀察者。A 的座標系格線是雙曲線(t)和射線(x). A 對應的座標系不是平直空間，而是彎曲空間！更重要對 B 靜止的球的世界線在 A 的（彎曲時空）座標系的世界線也是幾何的 geodesic (地直線）。運動方程式對應幾何彎曲時空的 geodesic!

簡單結論：地球質量 \to 引力場的運動方程式 \to 加速運動觀察者相對靜止（等效原理+馬赫相對性原理）\to 加速運動觀察者的座標系對應彎曲時空（符合四維時空座標無關：Lorentz transform？)，運動方程式變成幾何的 geodesic (地直線）。

可以跳過引力：地球質量 \to 彎曲時空。運動方程式變成幾何的 geodesic (地直線）。我懷疑愛因斯坦根本不認為引力存在！只有時空彎曲。

簡單而言：質能造成時空彎曲。時空彎曲又會影響質能分佈。質能的波動（如黑洞合併）造成時空漣漪，也稱為引力波。時空場方程式一邊是質能，另一邊是時空曲率。

時空曲率是四維張量 (rank-4 to rank-2)

黎曼曲率是 R_{\rho\sigma\mu\nu} 四維而且是四階張量。亦即一共有 4x4x4x4 = 256 個分量。相反質能只是一個純量。愛因斯坦面臨的問題是如何讓方程式兩邊能對接。也就是說：
curvature = \kappa (mass) \kappa 是比例常數。包含萬有引力常數 G .

Ricci 之前把四維四階張量轉換成四維二階張量 (4×4). 因此方程式左邊是 4×4 張量。
質能被 energy-momentum (density) 四維向量取代 (4×1). 愛因斯坦進一步把 4×1 vector 改造成 4×4 energy-momentum tensor 如下。(Wiki 2019)

愛因斯坦一開始的引力方程式如下：
R_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} \kappa = \frac{8\pi G}{c^4} 是比例常數。 G 是牛頓萬有引力常數. 在弱場的近似解就是牛頓萬有引力方程式。

上式一個問題是無法滿足四維時空座標系 invariant. With some help from Hilbert, 愛因斯坦減去一個二階張量，得到座標系 invariant 的結果。
G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu}R = \kappa T_{\mu\nu}

是在非慣性座標，非慣性座標系可以轉換為帶引力的慣性座標系，反之亦真。下一個問題是如何描述帶引力的四維時空座標系（NO）。
invariant!

  1. 在狹義相對論中質量和距離也和運動有關
  2. 牛頓的引力是超距力違背光速極速

Reference

Wiki. 2019. “Introduction to the Mathematics of General Relativity.” Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Introduction_to_the_mathematics_of_general_relativity&oldid=914452016.