Symplectic Manifold (r, p) and Hamiltonian Mechanics

by allenlu2007

Reference: Cohn “Why Symplectic Geometry is the Natural Setting for Classical Mechanics”

Geometric interpretation of Hamiltonian Mechanics

 

1. Manifold – due to constraints of geometry.  不會都是 free movement in Euclidean (2D or 3D) space.

例如 rigid object 的運動像是單擺,以及斜坡運動的 hard constraints,  或是圓周或行星運動或球面上的運動 constraints or variable 更容易用 generalized coordinate 而非 cartesian coordinate.

 

2. Assuming N particles, 除了 generalized coordinate (contra-variant basis) position in 3N dimension, 更方便是引入 generalized momentum (covariant basis) for another 3N dimension.  也就是形成 6N dimension 的 phase space.  當然兩者是相關的,就是要找到 6N dimension 的 manifold subject to the law of dynamics (Newton or Lagrange or Hamilton) 以及 constraints.

Contraints 有幾種:

1. Hard constraints:  例如 2D 單擺運動的 r = constant.  這是 hard constraint. 或是 x^2 + y^2 = constant. 

假設有 k 個 hard constraints, 最後的 DOF (degree of freedom) 就是 3N-k = n dimension free parameters.

也就是 n dimension 的 (symplectic) manifold in 3N dimension Euclidean space (or relativistic space later).

同樣也可以假設 momentum constraints in another 3N dimension Euclidean space.  Total 是 6N dimension Euclidean space. 

 

2. Soft constraints:  例如 potential function.  轉換為力。但 V 的 gradient 非常大,就從 soft constraint 變成 hard constraint.   V 基本上的作用是改變 manifold?  or 改變 metric?  or 改變 curvature?

 

3.  Motion dynamics rule:  這決定 particles 如何在 6N space move.  我們的目標是找到一個 vector field on the (r, p) manifold!!  不是只有 r 的 manifold!  因為 r 的 manifold 並無法給出完整的 equation of motion!!!  

Equation of motion 是什麼?  如果是 potential free =>  geodesic on the manifold

但若非 potential free?  least action principle?  

 

Intuition for the Approach

2-form!  dH,  when given 2 vectors ->  r and p –> convert into a scalar,  也就是 energy.?? 是兩個 vectors 嗎?   2-form 是這個意思嗎?  Wrong!!  

dH 是 1-form 而不是 2-form.   當然也沒有 r and p 兩個 vector fields.  {r, p} 合在一起是 symplectic manifold 上的一點 (or state).  dr and dp 是 local basis vectors; dr•dr (kinetic energy), dr•dp (?),  dq•dp (?). 似乎無法定義如 Riemannian manifold 上的 metric tensor   = sum of (dr.dr + dr.dp + dp.dp).  

在 symplectic manifold 的重點應該也不是 arc length (ds^2), 而是要找到 vector field? 指示從目前的 state 如何到下一個 state.  正常情況下 (conservative force), 所有的 flow 都不相交而且 volume is conserved on the phase space!!  也就是 divergence free. 有點像磁力線,沒有 source like magnetic charge, or energy-stress tensor. 

要解什麼?  顯然是 motion.  就是 vector field or joint {r, p}.  就是 phase space 的 trajectory.  給定任一點 initial condition, {ro, po)}, 可以解出所有的 trajectory evolution. 

就是要把一個 scalar field H –>  變成 vector field {r, p} of the phase space.  

把 dH – 1-form (0, 1) 轉為 vector field (1, 0), 如何做?  ==> 就是類似 metric tensor guv (0, 2)   

metric tensor 就是 2-form.  Symplectic manifold 的 2-form  和 metric (2-form) 有任何關係嗎?  Yes!!!

如果是 potential-free case (V=0),  H = kinetic energy = (M/2 dq dq) = metric??????  ==> special case 就是 Riemannian manifold.   Equation of motion 就是 geodesic curve!!

 

Instead ω = ω(V, X) =  ∑(dqj ^ dpj) 才是對的 2-form?   而非 ds^2 = sum(dxi . dxj)

^ 是 wedge product, alternating operation.  dqj ^ dpj = – dpi ^ dqj

where Hom(T*M, TM) T*M 是 cotangent space (dp), TM 是 tangent space (dq) 

ω = ω(V, X) 是 bilinear mapping from pairs of vectors to the field R of real number.

1-form dH gives us a convector at each point ℗, and the vector field V(™)

w(V, X) = (dH)(X)

 

 

Hamiltonian Geometry

可以 generalize symplectic manifold to Hamiltonian geometry.

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Examples:

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