微分幾何 – 流形 manifold

by allenlu2007

 

Manifold – 流形是一種拓璞空間 (topological space).  拓璞空間只是點集合但有 neighborhood 的觀念。

Manifold 比點集合更上一層因為多了一些要求或結構。 

Manifold 比 topological space 更進一步是定義了 local manifold 是類似 Euclidean space with a definite dimension; 也就是 manifold 每一點附近有確定且固定 dimension and space. 當然 global 並非如此。例如球面: 在任一點都像是 2D Euclidean plane (想像地球的任一點) 。但 globally 球面顯然並非 2D Euclidean plane.

一般的直線或圓或不相交曲線是 1D manifold.  但是 8 則非 manifold.  因為在 8 的中間是相交的兩線。並非1-D Euclidean space!  2D plance, 2D 球面, 甜甜圈的表面則是 2D manifold 但有不同的 topology structure. 

 

Manifold 可以再加上其他的結構更加豐富。一是 differentiable.  這是微分幾何的基礎。就是建立在 differential manifold 之上的幾何學。

 

另外一個非常重要的結構是 metric.  最直觀的 metric 就是一把尺,就像在巴黎的標準米尺。可以測量空間的長度。嚴格來說,還需要測量角度。因此需要定義 metric tensor:  (測量長度和角度, therefore area and volume)

guv = dx_u * dx_v 

以及 ds^2 = sum guv du dv 

Riemannian metric 就是 guv 是對稱 metric 以及 positive definite. 

Riemannian manifold 就是再加上 Riemannian metric 的 manifold.

 

(tensor), guv!!

 

Riemannian manifold = manifold + differentiable + Riemannian metric 

=>  vector and 1-form and tensor

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Lorentzian manifold = four dimension space-time metric with signature = +2.

 

Symplectic manifold = 2N manifold 

=> vector field, 2-forms manifold   ;  Hamiltonian mechanics

 

 

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