Tensor IIB – 微分

Tensor Differentiation, 包含 Gradient

Gradient of tensor (n, m) –> (n, m+1)

看具體的例子

Scalar: type (0, 0), f

Gradient of scaler : (0, 0) –> (0, 1) 變成 1-form!!

再來是為什麼是 1-form?

一個解釋是 directional derivative using a curve: e.g. f( x(t), y(t) )

df = grad( x, y) * (dx, dy) dt ==> scalar

因為 (dx, dy) 是 vector ==> grad(x, y) 是 1-form

再來就是有名的 covariant derivative, 就是 gradient of a vector, type (1, 0) –> type (1, 1) Yes!!

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注意 scalar 的 covariant derivative = partial derivative!!

幾何上 p 是同一點。和 vector 的不同點不同。

代數上因為微分包含 basis vector 的微分

同樣 covariant derivative of 1-form (0, 1) –> (0, 2)

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Scalar: type (0, 0), 但是用 <p~, v> where p~ is 1-form, v is a vector

grad <p~, v> …. => reference Schutz book!!

再來考慮 gradient of tensor (2, 0), (1, 1), and (0, 2)

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一個重點是 gradient of g, g^-1, (of course I) 為 0!!! 因為可以找到 local 平面。但 2nd derivative 不為 0, 可以定義曲率!