廣義相對論: 弱重力場近似解

by allenlu2007

Ref: Schutz: A First Course in GR

 

Einstein 廣義相對論 (GR) 的 EFE: Einstein Field Equation 如下 (排除宇宙常數項 for very large scale cosmos).

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G and T 都是 divergence free tensor for energy-momentum conservation.

c = G = 1  using Geometrized units. 

8π 是要和牛頓相容所得到的常數。

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眾所周知 EFE 是 nonlinear function 並不好解。(why?)

如何在弱重力場 (如太陽系) 找到類似牛頓萬有引力定律近似解? (但含 special relativity and wave equation).

 

Equation (8.10) 是 4×4=16 nonlinear differential equations.  

不過因為 T and G 都是對稱 tensor,只有 10 個 coupled differential equations.

一般情況是 given Tuv,  解 metric tensor guv.   從 metric tensor 可以得到所有的特性。

G (Einstein tensor) 並非任意 10 independent equations.  必須滿足 Bianchi identities

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正如同 EM field 必須滿足 Bianchi identities (4 homogeneous Maxwell equations).

(8.11) 也是 4 個 differential equations.   因此 10 個 coupled differential equations

其實等價於 10-4 = 6 個 independent differential equations.  用來解 10 個 guv functions (但同樣只有 6 個 independent functions).

結論就是等價於 6 個 independent differential equations 解 6 個 independent functions.

 

這其實跟解 Maxwell tensor equations 類似。F 一共有 6 個 non-zero independent functions (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz).  Maxwell equation 包含 8 個 differential equations.  4 個 homogeneous equations from Bianchi identities.  4 個 inhomogeneous equations from the source.  乍看之下是 over-specified.  但仔細檢查。2 個 divergence scalar equations 其實可以從 curl equation 得到 (先假設 sourceless case), up to a constant determined by boundary conditions).  因此 Maxwell equations 主要是由 6 個 curl equations 決定主要的 behavior.  例如 wave equations (6 個 wave equations).   divergence scalar equations (2) 主要是決定 boundary condition.  

 

Nearly Lorentz Coordinate (Minkovsky Space) Systems

假設弱重力場所以 spacetime 近似 flat (Minkovsky space).  

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有兩種 approaches:  Background Lorentz transformation and gauge transformation

 

Background Lorentz Transformation

基本上我們用 SR 的 Lorentz transform (matrix) 來拆解原來的 g tensor. 

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重點是在 Lorentz transform 後得到新的 guv 近似 tensor:

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可以說 Lorentz transformation 是旋轉讓原來的 g tensor matrix 變成近似的 block diagonal matrix? 

 

Gauge Transformation

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看起來 Gauge transformation 是一種 translation!  和 Lorentz transformation 是 rotation? 不同。

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再來是確認 Riemann curvature tensor 不會受以上 transform 的影響 (at leasts to the first order).

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最終可以化簡為以下的 linearized equations (參考 reference)

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基本上是熟悉的 wave equation!!

 

Example of Linearized Theory

1.  假設弱引力同時所有速度遠小於光速 (c=1, v << 1)。可以把 wave equation -> Poisson equation.

  Too 是 dominant items.

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就是牛頓萬有引力定律在 flat space (SR) 的近似解。

根據 Schwarzchild metric solution:

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φ的修正項即使在太陽系的運動也重要。例如水星近日點 (perihelion) 的徑動 (precession) 就是到 Einstein 的 GR 才解決。

後文會再討論

 

2. 重力波:  後文討論。

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