Tensor IV – Maxwell Equation in Tensor

by allenlu2007

Reference

Wiki: Maxwell’s equation in curved spacetime.

Red’kov “Maxwell equations in Riemannian space-time, geometrical modeling of medias”

 

作為電機專業,對於 Maxwell equation 毫不陌生。不論是微分形式或是積分形式。

或是各種簡化版本: 如 TEM wave, TE/TM wave, quasi-TEM, KCL, KVL, etc.

另一個是往更基本的方向: (1) Lorentz transform invariant lead to 狹義相對論;

(2) Extension to 廣義相對論 compliant;  (3) Symmetry lead to SO(1) quantum field.

 

(1) 是 (2) 的 special case.  即是 metric tensor g = η.  

本文直接先由 (1) 開始 (Minkovsky flat space with Lorentz transform invariant)

將 Maxwell equation 改為 tensor form.  再把 partial derivative 改為 covariant derivative 得到 curved space Maxwell equation.

 

Maxwell Equation 

Maxwell equation 可以分為兩組,有源的和無源的。用數學來說: inhomogeneous (with source) and homogeneous (sourceless) equations.   以上分為兩組 (I) and (II).

(I) 包含 Gauss’s law for magnetism and Faraday’s law of induction.

(II) 包含 Gauss’s law for electric field and Ampere’s law plus Maxwell displacement current

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另一個變化是把 ρ 視為 jo , i.e. static charge density 在 moving frame 可視為 current density.

可改把 4 個 Maxwell equations 改為 2 個 tensor equations:

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(I) 可以展開為 homogeneous Maxwell equation.  其實 (I) 是由 F 的定義自動得出 (Bianchi identity).

因為 F 是由 four vector-potential tensor 微分得出。可以証明滿足 Bianchi identity.  而得到 homogenous Maxwell equations.   特例就是 E = ∇𝜙  (static E field).  B = ∇xA  =>  ∇xE = ∇x(∇𝜙)=0    ∇•B = ∇•∇xB=0

綜合兩者的 tensor form 就是 Bianchi identity. 

 

(II) 同樣 inhomogeneous Maxwell equation.  ==>  (II) 就是 divergence of tensor H = source!!

這和 Einstein tensor Guv 不同。因為 Guv 是 divergence free!  

 

 

F tensor 是如何得出?

可以定義更其本的 4 (vector) potential A = (𝜙/c, Ax, Ay, Az)

再由 A tensor 定義 F tensor.  

A 可視為, a differential 1-form.   

F = dA 是 a differential 2-form – antisymmetric rank-2 tensor field.

 

如何証明 from A definition 滿足 Lorentz transform invariant?

另外 Gauge invariant 如何反應在 tensor form?

 

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F tensor and Maxwell Equation in Curved Space

A and F tensor 的定義仍一樣。但 D and J 的定義加上 metric tensor. 

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Maxwell equation 在 Minkovsky space (flat space) 的形式。改成 curved space 非常容易。只要把 partial derivative 改成 covariant derivative 就 OK.

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Equation (I) 也稱為 Bianchi identity, any significance?  所有 tensor 都滿足? 

Equation (II) 就是 divergence of tensor H = source!!

這和 Einstein tensor Guv 不同。因為 Guv 是 divergence free!  

 

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可以展開為 homogeneous Maxwell equation.  

 

同樣 inhomogeneous Maxwell equation.

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注意以上並非推導,而是推廣 flat space 的結果到 curved space. 

 

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Lorentz Transformation and Gauge Transformation

 

Lagrangian formulation of Classical EM

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在 curved space:

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Electromagnetic Stress-Energy Tensor

Einstein 在廣義相對論的 tensor equation 就是 stress-energy 造成 space-time distortion/perturbation, etc.

同樣我們可以定義 EM stress-energy tensor.  不過很重要的差異是沒有 Einstein GR equation.  因為 EM stress-energy 並不會造成 space-time distortion!!  Wrong!!!!!!!

Wiki “Einstein field equations”  可以發現 Einstein-Maxwell equations.   EM field 同樣可以造成 space-time distortion/perturbation, etc.

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