Tensor III – 廣義相對論

by allenlu2007

 

Tensor 一個主要的應用就是廣義相對論 (GR)。

先列出廣義相對論的 Tensor equation:

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GR Field Equation 詮釋

GR tensor equation 的 LHS 都是 spacetime 相關項。 RHS 則是 stress-energy tensor.

非常直觀。RHS 是 source term (energy and mass) 造成 LHS 的時空改變。

在引力波的 case, 時空改變又會影響 stress-energy tensor, back-and-force 造成引力波以光速傳播。

 

LHS of Field Equation

Ruv 稱為 Ricci curvature tensor.  是由 Riemann curvature tensor contraction 得到。代表 spacetime 的內稟曲率。第二項的 R 稱為 scalar curvature, 是由 Ricci tensor contraction 得到。 guv 則是 metric tensor.

加入第二項 (-1/2Rguv) 是 Einstein 發現為了要滿足能量和動量守恆 for the RHS。也就是 divergence-free tensor!

Divergence of tensor 就是 covariant derivative (wrt u and v). 

第一和第二項合稱為 Einstein tensor.  

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第三項則是有名的 Einstein 最偉大的錯誤。當初是為了要滿足靜態宇宙的觀念而加上的宇宙常數。在哈柏發表宇宙膨漲觀察後。Einstein 說加上宇宙常數是他犯了最大的錯誤。

但在更進一步觀察到宇宙加速膨漲後,宇宙常數死而復活。但正負號反向。

注意加入第三項並不影響 divergence-free tensor 特性。

 

RHS of Field Equation

RHS  Tuv 則是 stress-energy tensor.  直覺上應該和質量或能量相關。

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Too 是 energy density.  如果有物質就是 ρ; 如果是真空只有 EM wave 就是 EM energy density.

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Toi or Tio 則是 momentum density.  

Trace Tii 則是 pressure. 

更詳細的 stress-energy tensor 參考後文。 

 

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3. Hamiltonian mechanics

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