微分幾何 V – Curvature 曲率

by allenlu2007

 

微分幾何談到 curvature 非常多次。似乎涵義都類似。但仔細研究會發現都不完全相同。

先總結 curvature 幾種看法:

代數:  萬變不離其宗就是

(I) 2nd order derivative (line);

(II) 不同 path 2nd order derivative difference (covariant derivative commutator). (surface)

 

幾何: 描述方式變化很多。需要証明是等價的。

(1) 切向量的變化量 (line, same as I)

(2) 2D: Surface centered at P, 用多條輻射線找 line curvature 的 max K1 and min K2 curvature.  

        Gauss curvature K = K1*K2; (surface);  

(3) 2D: Surface centered at P, Gauss curvature ~ (surface 圓周長和平面圓周長的差異)/(圓面積)  (surface)

(4) N-dimension: Parallel transport 在繞封閉曲線的差異,除以曲線圍出的面積。(surface, same as II)

如何証明 (2) and (3) and (4) 等價?

 

代數曲率 (Algebraic Curvature)

最早是代數定義曲線的斜率和曲率。基本上斜率是 1st order derivative.  曲率相當於 2nd order derivative; 至少在斜率為 0 (min or max) 點是如此。雖然很簡潔,但少了幾何的詮釋。另外忽略了一個基本的差異。斜率是和 reference frame (座標系) 相關,但曲率是曲線內稟的特性,應該和 reference frame 無關。

Important tip:  curvature is proportional to 2nd order derivative!

NewImage

如果用 parameterized curve, 曲率如下:

NewImage 

(x, y) 交換對稱,些微暗示座標系無關。更完整的詮釋如下。

 

幾何曲率 (Geometric Curvature)

=> curve curvature, mean curvature, Gauss curvature


Curve curvature

首先是 curve 的 curvature。只有一種,非常直觀。一般都是假設在 Euclidean space (flat space) 的曲線。

曲率的定義就是切向量的變化量。甚至連方向都定義出來。可以用 Frenet frame 來說明:

NewImage

此處的 k 和代數 curvature 是同一回事。但更 general.  因為 Frenet frame 推廣到 3D curve.  

NewImage

 

Surface curvature using curve curvature (exterior approach)

再來就是 2D surface (embedded in 3D Euclidean space) 的 curvature.   有兩種 approaches:

Euler 的想法是造出很多 curves 通過 P 點。我們可以找到 max line curvature k1, and min line curvature, k2, 稱為 principles axises.

Gauss curvature = k1*k2.   Mean curvature = (k1+k2)/2 or (k1+k2)

此處再強調 line curvature 和 Gauss curvature and mean curvature 的關係如上。

Gauss curvature 基本上是 max and min line curvature 的乘積 (square of geometric mean).  Mean curvature 則是 man and min line curvature 的和 (twice of algebraic mean)

可以証明  mean curvature 和 minimum surface 問題的解有關,例如吹泡泡問題。

以上都是 curve or surface embedded 在 flat Euclidean space 中的特性或定義。

 

Surface curvature using perimeter deviation to area ratio (interior approach)

但 Gauss 發現 curve surface (or space) 的 Gauss curvature 其實是內稟的曲面特性,可以完全不用 exterior Euclidean space 來定義,而用曲面本身的特性定義。換言之,一隻螞蟻生活在曲面上可以判斷是平面或是曲面以及 Gauss curvature,不用飛到曲面外來判斷。  Gauss 稱為”絕妙定理” (Theorema Egregium)

NewImage

NewImage

NewImage

等效而言,括號內就是圓周長在 curved space and flat space 的差異。除以 ε^2 就是圓的面積。

為什麼 curvature 造成差異會是 quadratic to ε? 這和 curvature 是 metric (tensor) 的 2nd order derivative 有關!

如果是 flat surface, K=0.  愈彎的 sphere surface, C 愈小, 括號內愈正,代表 K 愈正數。如果是 saddle surface, C 愈大, 括號內愈負, 代表 K 愈負數。如果是圓柱或圓錐面的側面,K=0 because isometry to flat surface.

 

Gauss curvature 則是 2D surface 的 intrinsic property.   就是 Riemannian curvature tensor 的 scaler form?  YES!

Riemann tensor –> Ricci tensor –> Scalar curvature –> 2D special case –> divide by 2 –> Gauss curvature

 

曲率張量 (Curvature Tensor) 

=> Riemann curvature tensor, Ricci curvature tensor, Einstein curvature tensor, Scalar curvature

再來就是 Tensor 中所定義的 curvature tensor, 包含 Riemann curvature tensor (1, 3), Ricci curvature tensor (0, 2), Einstein curvature tensor (0, 2), Scaler tensor (0, 0), etc.  以下說明。

 

首先是用 parallel transport 來定義 curvature tensor. 不知道是那個天才的想法? 太跳脫一般想法!  為什麼不是從 Gauss curvature 出發定義 curvature tensor?   Riemann 是如何推導的? (TBC)

Parallel transport 方式可以參考 Schutz’s General Relativity.

另一個不錯的 Youtube lecture “General Relativity for Beginner”

Parallel Transport

在 flat space (Gauss curvature = 0?) 繞任意封閉曲線的 parallel transport 為 0.  反之可用 transport 不為 0 定義曲率。

NewImage

考慮一個曲面上一小塊 surface:

NewImage

NewImage

NewImage

 

NewImage

NewImage

(6.63) RHS 可以証明相等於 commutator of covariant derivative.  物理意義很清楚!!  就是 covariant derivative 在 curved space 交換不為 0 (= Riemann curvature).  但在 flat space, covariant derivative 等於 partial derivative 則是可交換的,  Riemann curvature = 0.

NewImage 

也可以改寫為 metric tensor (0, 2) 的組合。

NewImage

 

 

 

Ricci Curvature Tensor and Scalar Curvature

再接再厲,從 Riemann tensor (1, 3) 的 1st and 3rd indices contraction 定義 Ricci tensor (0, 2).

再從 Ricci tensor contraction 定義 Scalar curvature!!  

在 2D special case,  scalar curvature = (2 x Gauss curvature)

 

(Ref: Loveridge Physical and Geometric Interpretations of Riemann/Ricci Tensor and Scalar Curvature)

NewImage

Einstein Curvature Tensor

Einstein tensor 是結合 Ricci tensor 和 scalar curvature 的結果:

NewImage

廣義相對論就是描述 Einstein Tensor (spacetime curvature) 和 Stress-Energy Tensor 的關係。

NewImage 

What’s the difference between Riemann tensor, Ricci tensor, and Einstein tensor?

  

In summary, Riemann curvature tensor 的邏輯是:

Parallel transport curvature definition (integration over a close loop / loop area) ≣

Christoffel partial derivative ≡

Covariant derivative commutator ≡

Metric tensor partial derivative

 

Youtube video 是從 parallel transport -> covariant derivative commutator -> Christoffel partial derivative

NewImage

NewImage

NewImage

NewImage

 

 

比較好奇是否能從 Gauss curvature 出發得到類似的結果?

Please refer to Wiki Scalar curvature

Gauss curvature 是 Scalar curvature 在 2D surface 的特例!  (2D  scalar curvature = 2 x Gauss curvature)

How to explain geometrically?  

 

Gauss Curvature and Riemann Tensor Relationship

可以証明 Riemann tensor (lower index) 和 Gauss curvature 的關係如下列 (2) 式。就是 R 在 2D space (由 S and T vectors 構成的 parallelogram 除上 area.  所以 equation (2) 所代表的 R(S, T, S, T) 基本上就相當於 curved surface 的周長和平面周長的 deviation.

NewImage

Scalar curvature 是 Gauss curvature 在 D dimension 的推廣。重點在於 deviation 是 quadratic to ε.

在 2D, 也就是 Gauss curvature case, R (scalar curvature D=2) = 2 * Gauss curvature.

NewImage 

 

What’s the difference between Riemann tensor, Ricci tensor, Einstein tensor, and Scalar curvature?

首先 Riemann curvature tensor 的定義來自 parallel transport 的 vector deviation

NewImage

 

Ricci tensor 可視為 Gauss curvature 的 average 之後結果。

 

 

 

 

Advertisements