Tensor II – Vector & One-Form 座標轉換和微分

by allenlu2007

 

前文提到 tensor : (i) coordinate invariant; and (ii) tensor of type (p, q)   T : V* x V* x .. V*  x V x .. V –> R

Input p copies of one-form and q copies of vectors, and output R.  

 

Vector 可視為 tensor of (1, 0).  因為 input a one-form 就可以產生 a scaler.

1-form 可視為 tensor of (0, 1).  

2-form 可視為 tensor of (0, 2). 

同樣 metric tensor g(v1, v2) = scaler  =>  tensor of (0, 2)

inverse metric => tensor of (2, 0)

Inner product => tensor of (0, 2) 

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Basis Vectors and 1-forms

Reference to MIT gr1.pdf

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同樣可以定義 1-form basis and component

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Vector basis 和 1-form basis 的關係:

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要得到 covariant component (1-form) 或是 contravariant component (vector) 的方式很簡單:

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乍看之下好像不直覺。之前我們要得到向量的分量,只要內積對應的 basis vector.  此處確是 pairing with 1-form basis!    

其實是一致的。因為在 Cartesian 座標系或是正交座標系 with unit normal basis (orthonormal basis), vector basis 和 1-form basis 是相等。但在非 orthonormal basis (正交但非 unit; 或是非正交), 就必須用 1-form basis.

以下 3 個 tensors 代表不同 n+m=2 的 cases.  注意 2 vectors 或是 2 1-forms 需要 metric tensor or inversed  metric tensor 才能得到 scaler (0, 0).  但是 1 vector and 1 1-form 則不需要透過 metric tensor 而是 contraction 得到 scaler (0, 0)!.

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反之以上 tensor 可以寫為 component 乘上 basis vectors (based on the type)

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另一個經典是 vector inner product:

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如果是兩個 vectors (all contravariant) 需要加人 metric.  如果 covariant dot contravariant 則不用。如果兩個 covariant 則要加入 inversed metric. 

 

Raising and Lowering Index 

(n, m) tensor 可以用 g metric tensor 改為 any (n+k, m-k) tensor.

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或是同時 lowering and raising index

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Contraction using Einstein notation

(n, m) tensor –> (n-1, m-1) assuming upper and lower index are the same!

 

Change of Basis

前文提到 tensor 最重要的特性是 coordinate invariant.  但這並不代表 tensor component invariant. 

而是 tensor component 在不同 local basis 必須滿足 Jacobian relationship.  

先看最簡單的例子: 不同 local basis 之間的互相轉換 (就是 Jacobian 定義)

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注意 eμ’ and eν vectors 也是 tensors.   ek 在原座標系是 (0, 0, …, 1, …, 0) (only kth component is 1).  但在新座標系 (prime 座標系) 需要乘上 Λ (就是 Jacobian) 才得到新的 components.

反之則是 inversed Jacobian.  

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1-form follows 同樣的關係。但和 vector change of basis 相反

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注意現在有兩個不同的座標系: unprimed and primed 座標系。不要把之前同一座標系的 Kronecker delta 混為一談。

再來看最重要的結論: tensor component 在 change basis 的改變 (tensor invariant, 但 component variant!!)

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Vector component 的座標轉換就是乘上 Jacobian.  1-form component 的座標轉換就是乘上 inversed Jacobian.  

另一個重點是任兩 tensors 只要在一個座標系的 component 相等,在所有的座標系 (乘上 Jacobian or inversed Jacobian) 都相等。也就是兩 tensors 相等。

再看 metric tensor g 在座標轉換

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對於任意 (m, n) tensor, 可以推廣以上的 Jacobian and inversed Jacobian relationship. 

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也就是乘上 m 個 Jacobian 和 n 個 inversed Jacobian.

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Tensor Differentiation, 包含 Gradient

Gradient of tensor (n, m)  –> (n, m+1)

Gradient of scaler : (0, 0) –> (0, 1) 變成 1-form!!

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再來就是有名的 covariant derivative, 就是 gradient of a vector, type (1, 0)  –> type (1, 1)  Yes!!

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or 

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同樣 covariant derivative of 1-form (0, 1)  –>  (0, 2)

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再來考慮 gradient of tensor (2, 0), (1, 1), and (0, 2)

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一個重點是 gradient of g, g^-1, (of course I) 為 0!!!  因為可以找到 local 平面。但 2nd derivative 不為 0, 可以定義曲率!

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Divergence (另一種微分 and summation)

 

 

Differentiation of Tensor


 

 

 

 

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