Tensor I – 基本觀念

by allenlu2007

 

Tensor 是微分幾何的要角。也是相對論的數學基礎。

微分幾何故名思義是以 differential form 為主,不是一定要用 tensor.  但使用 tensor 可以貫穿所有的領域和應用。

例如相對論, Maxwell equation, 以及古典力學的 Hamiltonian and Lagrangian, and information geometry, etc. 

 

What is Tensor? 

一種錯誤的看法是: (1) 純量 (scaler) 是 1×1;  (2) 向量 (vector) 是 nx1 or 1xn; (3) 張量 (tensor) 是 nxn matrix or array.

雖然從數學上來看有 catch 到一些點,但是錯誤的看法。

 

最簡單的說法是 tensor 是用來描述幾何量,最重要的是 coordinate-invariant!!  

也就是這個幾何量是和用什麼座標系描述無關。

Tensor ≡ Coordinate-invariant 幾何量

 

其次才是 tensor 的數學形式:  包含 scaler 純量 (1×1), vector 向量 (nx1 or 1xn),  one-form (nx1 or 1xn), combination of above (e.g. 1×1, nxn, nxnxn, etc.).  以及 tensor 的 operations (+, -, derivative, integration) 需滿足 linear relationship. 

 

Why Tensor? 

歐幾里得是用純幾何方式(尺和圓規)開創歐式幾何。偉大但有局限性。

笛卡兒引入直角座標系開創了代數幾數。加上微積分的解析幾何 or vector calculus 更大幅拓展幾何和代數的結合。

一個問題是直角座標和少數其他的座標系 (polar, spherical, cylindrical) 反而限制了人的想像空間。以至於當 Einstein 在發展廣義相對論時需要找新的數學工具。

從 Gauss, Riemann, and others 所發展的微分幾何以及 Ricci, and others 所發展的 tensor analysis 就是從另一個角度出發。不限制在歐式幾何和直多座標系。例如曲面上的幾何學顯然和歐式幾何大不相同。(如何定義曲面上的直線和圓?)

一個思路就是曲面上每一個點都有自己的 local basis (也就是 coordinate).  此時每一個 local basis 當然不會是 Cartesian, Polar, Cylindrical, etc.  而是任意的 local basis.  因此需要發展新的數學工具,也就是微分幾何 的 differential form 和 tensor analysis/tensor calculus.   微分幾何在 Gauss, Euler, Monge, etc. 發展自成體系,Cartan 引入 differential form.  另一個思路就是用 tensor 來整合相關的理論。

一個自然的問題是 differential form vs. tensor.  都是為了解決 coordinate-invariant.  Which one is better?

 

Tensor Examples and What is NOT Tensor?

先從簡單的 geometric object 開始: 曲線 (curve)

顯而易見曲線的長度 (s, arc length) 是 coordinate-invariant.  s 是純量, 也是 tensor of type (0, 0).

同樣顯而易見,曲線上任一點的切向量 (tangent vector) 是 coordinate-invariant.  是 tensor of type (1, 0).

切向量的大小 (純量), 是 tensor of type (0, 0).

但切向量在任何方向的投影 (projection), 也就是分量, component, 不是 tensor!  因為和 coordinate frame 相關!

In general, 任何向量 and tensor 的投影,或是分量, component, 不是 tensor!!!!!!!!!!!!!!

曲線任一點的斜率不是 tensor!  因為斜率是 reference to coordinate frame.  

反之曲線任一點的曲率(vector)和撓率(vector)都是 tensor!  因為曲率是 curve local 的幾何特性 (or tangent vector 的 derivative), 和 coordinate frame 無關。

 

有趣的問題是 curve 的速率 (scaler) 和速度 (vector) 是 tensor or not tensor?

Depends on the assumption of the reference frame!

Case I: 假設是 2D curve (x(t), y(t)) (e.g. (cos(t), sin(t)),  t is time and a free parameter.  在這種情況下, t 只是 hidden parameter 並不出現在 coordinate frame.   因此 velocity vector 只是切向量,大小就是速率。和選擇座標系 (polar (r, θ), rectangular (x, y), etc.) 無關。所以是 tensor.

但如果 t 本身是座標系的 one axis.  就非常有趣!

Case II:  Newtonian space and time coordinate frame  

x’ = x – vo*t  and t’ = t  也稱為 Galileo (coordinate) transformation.  速率或是速度就是在 reference frame 之下的斜率。明顯不是 tensor!   因為在不同的 coordinate frame 的速度或速率不相同!

Case III:  Einstein space-time coordinate frame

如同在(狹義)相對論 (same as 廣義相對論).  不同的慣性座標系看到的 (t, r) (4D space-time) 不同。此時 t 是分量,不是 tensor.  同理,不論速度或速率在不同慣性座標系看到都不同,因此不是 tensor!

 

Geometric Object : 曲面 (surface) and 空間 (Euclidean or Non-Euclidean space)

scaler and scaler field (e.g. 溫度場); vector and vector field (e.g. 電場, 壓力場); 都是 tensors. 

scaler field and vector field 的 gradient, divergence, curl; 從幾何角度都是 tensors.

看起來都是 tensor 似乎都是純量 (1×1) 或是向量 (nx1 or 1xn).  還有其他的 tensor 嗎?

Yes!

先看一個例子。一個 vector field, 例如電場 E vector (3×1)。在空間任一點都有 3 個分量 Ex, Ey, Ez.  如果對於 E vector 作微分,乍看之下只是得到另一個 vector (仍是 3×1).  但從實際操作來看 Ex(x, y, z), Ey(x, y, z), Ez(x, y, z).  Ex 需要分別對 x, y, z 做微分,同樣 Ey and Ez 也是如此。因此最後需要得到 9 個分量。這個 (3×3) matrix 也是一個 tensor.  當然每一個 component (分量) 是 coordinate dependent, 但是整體的效果相當於 vector field 的微分是 coordinate-invariant!

同樣可以把 two vectors 做 inner product (1×1), 或是 outer product (3×3), 都有幾何的解釋。也都是 coordinate-invariant!   同樣的 procedure 可以持續 (對 nxn tensor 微分或是 outer product), 可以 create 更高維的 tensor.   

注意並非所有 nx1 vector or nxn, nxnxn matrix 都是 tensor!   例如 velocity vector 就不是 tensor.  從 spacetime 例子來看,從 4D spacetime 中取出 3D 的 space 除以 1D 的 time 雖然得到 3D vector, 但絕不是一個  tensor!!

 

Jacobian 雖然是 nxn matrix, 但不是 tensor.  只是不同座標系 tensor component 轉換所需要的 matrix (見下文)!  

同樣 Cristoffel symbol 是 nxnxn matrix, 但並非 tensor.  也是不同座標系 tensor basis vector 轉換所需要的 matrix.  

不論是 Jacobian or Christoffel symbol 是 coordinate variant, 並非 coordinate-invariant.  都不是 tensor!! 

 

除了 scaler (1×1), vector (nx1), vector derivative (nxn) matrix 是 tensor (只要是 coordinate invariant).

還有一類特殊幾何量稱為 one-form, 可視為 dual space of vector, 也被視為 tensor 的基本結構。  

如下圖 polar coordinate 所示。左圖每一點的 vector field 都可被分解為 local basis vector 的 linear combination.  這是我們熟知的 vector.  如前所述用 tensor (0, 1) 表示。  

One form 則是如右圖所示,可以用 hyperplane layer density (2D plane 的 one-form 是平行線) 來說明。

Vector 是比較具體的幾何 object, 具有明確的方向和大小。方向是箭頭的指向,大小則是長度。就像矛。

One-form 乍看比較抽象。其實就是盾。同樣也有方向和大小。方向就是 hyperplane 的垂直方向,大小就是盾的層數或密度。One-form 愈大代表 layer density 愈大。One-form 也是 geometric object and coordinate invariant. 

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更有趣的當矛遇上盾,或是銀河英雄傳說萊茵哈特和楊威利的巴米利恩會戰。就是 vector 遇上 one-form.  

結果是產生一個 scaler, 就是矛刺穿盾的層數!   Scaler or tensor depends on 矛和盾的方向是否對正,以及矛和盾的大小。顯然矛愈強 and 盾愈密同時對正,結果會愈大。下圖 shows 3D space 的 σ one-form 分解成 α+β one-forms, 分別和 u, v, w vector basis 結合的結果。

最終是 one-form 其實 automorphism to contra-variant vector.  因此在某些 tensor calculus 完全跳過 one-form.  

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同樣 one-form 也可以 +, -, 微分產生更高維的 tensor.  

 

Wiki Tensor Definition Using Vector Space and Dual Space  

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何謂  Coordinate-Invariant?

是指 sum (coordinate component * basis (vector or tensor)) 是 invariant or independent of basis selection!

當然只看 component 一定是不同。Cartesian coordinate and polar coordinate 的 component 大不相同。

但是 component of different coordinate system 否有一定關係?  

Yes.   就是要乘 Jacobian or Jacobian!!  而且要乘幾個取決於 tensor type!!!!

如果是 type (1, 0) or type (0, 1) tensor (nx1), 只需要乘一個 Jacobian or inversed Jacobian.

如果是 type (0, 0)  (1×1), 就是 scaler,  不需要乘任何 Jacobian.

如果是 type (2, 0) or type (0, 2) tensor (nxn), 則要乘二個 Jacobian.

 

Significance of Coordinate-Invariant? 

Einstein 跌了一大跤。他否認了重力波 or even black hole existence?  認為只是 pick any particular coordinate effect.

Coordinate-Invariant hints any conservation?  Probably not, because it’s just an artifact by human selection?  天下本無事,庸人自擾之

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