微分幾何 IV – Tensor

by allenlu2007

Reference: Introduction to Tensor Calculus for General Relativity

 

MIT department of physics 的 note 非常好。

區分 vector and one-form.  

Vector 基本上 refer tangent space 的 vector space.  以及 manifold 上的 vector field.  非常直覺。

One-form 則是一個新東西。 基本上是一個 dual vector space, 或稱為 cotangent space. 

MathIsBeautiful 則是直接定義為 contra-variant vector space.  兩者是 isomorphic.  使用 one-form 可以更清楚分別。

 

Tensor 

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* Tensor 是 coordinate-free.  但 Tensor component (當然) 和是 coordinate-dependent.

* 2 個 tensors 如果在一個座標系相等。在所有座標系都相等。也就是相等。

 

以下是 tensor:

– Scaler: rank (0, 0)

– Vector :  need 1 one-form input to produce scaler:   rank (1,0)

– One-form: need 1 vector input to produce scaler: rank (0, 1)

– Metric tensor: need 2 vectors : rank (0, 2)

– Inverse metric tensor: need 2 one-forms: rank (2, 0)

– 2 vector inner product A∙B 也可視為 rank (0, 2)

– 同理, 2 one-form inner product 也可為 rank (2, 0)

– metric tensor 可以用來 lower or raise indices

– One-form is isomorphism to contra variant basis!   表現方式和 one-form 一模一樣。

 

改變 tensor rank 方式有三

1. Tensor product of (m1, n1) and (m2, n2) 變為 (m1+m2, n1+n2).

2. Tensor contraction (m, n) 變為 (m-1, n-1)

3. 可以用 metric tensor 把 (m, n) 變成任意 (m-k, n+k) 的 tensor 

4. Derivative (or gradient, 可視為 one-form) (m, n) 變為 (m, n+1)

 

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如果用 contravariant vector:

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我們特引入 covariant derivative symbol.  在 scaler input 沒差。但在 vector input 則不同。

gradient (1, 0) , scaler (0, 0) input = one-form output (1, 0)

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gradient 可視為 one-form (0, 1).  和 scaler product (0, 0) combine 變成 (0, 1) 也是 one form.

如果 input vector (1, 0), output 則是 (1, 1) tensor. 

只時 partial derivative 和 gradient 不同!!

 

Covariant Derivative:  就是 Gradient of a vector

Gradient of one-forms and tensors (p, q) –> (p, q+1)

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注意 gradient of metric, inverse metric and identity = 0.

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可以解出: 

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Divergence of a Vector Field and Tensor  (p, q) –> (p, q-1)

Divergence 是把一個 input one-form or contra variant vector (0, 1) 變成 scaler (0, 0).  因此 divergence 可視為 (0, -1)?  In general, rank (p, q) tensor 可以藉 divergence 變成 (p, q-1) tensor.

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(78) 可以改為全微分。

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Curl of a Vector Field and Tensor  (p, q) –> (??)

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Stoke Theorem 之後再加上。

 

Laplace-Beltrami Operator

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