微分幾何 II – 座標系和微分

by allenlu2007

接續上文。除了移除 parameter dependency 之外。另一個更重要的觀念是 coordinate-free.  也就是不要用特定的 coordinate system (e.g. Cartesian or Polar coordinates).  而是所有的座標系 (not need orthogonal) 都有正確的結果。

 

先用微分為例說明 coordinate-free:

顧名思義,微分幾何最重要的 operation (除了一般的四則運算),就是微分,也就是研究 local 的 geometric 特性。更重要的是這些 geometric 特性是和座標系無關。特定的座標系只是方便計算而已。

 

微分幾何的微分分為三類:

 

1. 純量(場)微分:  

Ex1: gradient (梯度) or ∇

∇ f(r) where f is a scaler function of r (position vector, 座標系無關).  

假設 f 是溫度函數。∇f 是 vecotr, 方向是 steepest descent 的方向,大小則是變化率。不管任何座標系都應有同樣的 gradient vector.  (rank1 tensor).  當然最後用不同座標系的座標表示會不同 (x,y) or (r, θ), 但加上 local basis 組合的 vector 是一樣:  a ex + b ey = c er + d eθ.   (a, b) 和 (c, d) 之間差了一個 Jacobian. 

結論:  Scaler field (座標系無關 invariant) 微分 —> vector.  就是微分 rank0 tensor (1×1) —> rank1 tensor (nx1)

Ex2: Directional derivative (scaler):  就是 scaler function f(r) 在各方向上的導數。已知 steepest descent 的方向和大小就是 ∇f.

但在其他無限多方向的大小 (scaler) 是什麼?  Surprisingly, 就是 ∇f * n.  也就是 |∇f |*cos(α) where α 是和 gradient vector 的夾角。例如夾角 90度就是等高線,因此 directional derivative 是 0.  其實這就是 Taylor expansion, 1st order 近似值。

另一個重點是以上的定義不只在 Euclidean space (flat space) 適用。在 curved space 也適用!!   

Directional derivative 就是 f 在 tangent space 各方向 n 走 ds (arc length, 在 curved space 也有定義) 的 δf ratio.

變化最大的方向和大小就是梯度!!  在 curved space 如何定義?

NewImage

3D curved space 一共有 9 項。如果是 flat Euclidean space with Cartesian coordinate, gik = δik 可以簡化為 3 項。就是一般的 gradient 定義 (wrong? 要改為 contracovariant basis?).  

 

2. 向量 (with parameter) 微分 (on parameter):  

Ex1:  smooth curve, r(t), function of parameter t.   前文提到把 t 換為 s (arc length) 則變為 geometric 特性。

微分得到 tangent vector, 再微分得到 normal vector. 都和座標無關。Tangent vector, normal vector, and torsion vector 都是 rank1 tensor (nx1).

Ex2: basis such as ex, ey or er, eθs 都可視為 Ex1 的應用。格線可視為 smooth curve, r(x, y), etc.  因為此時是定為座標軸,當然和座標相關。

以上的定義不只在 Euclidean space (flat space) 適用。在 curved space 也適用!!    

 

 

3. 向量場微分:  開始有趣了。

Space (or field) 中每一點都有一個 vector, 稱為 vector space or vector field.  

在 flat Euclidean space 中向量的 “+” and “-“ 都很直觀。如下圖:

NewImage

只處暗含了一個向量 “平移” (parallel transport) 的觀念!!

因此我們在 Euclidean space 可以定義各種向量 “+”, “-“, 微分 (向量減法加上 scaling), etc.

 

但在 curved space or curved manifold 就不一樣!

如果是在 manifold 任一點 P, 因為可以用 tangent plane (or space) 來近似。Tangent plane/space 仍是 Euclidean space.  因此所有的 tangent space 的 vector operation 仍可正常進行 (如 “+”, “-“).

但如果是 P 點附近(或更遠)的 Q 點,因為兩者的 tangent space 不同。當要做 P 到 Q 的 vector “+”, “-“, 微分時,就會遇到一個 fundamental problem!! 就是如何把 Q 點的 vector “平移” 到 P 點的 vector.  這就是 parallel transport 的觀念延伸。

 

 

但在 curved space, 

 

 

 

實務上我們用 Cartesian coordinate 定義

∇f = ∂f/∂x ei + ∂f/∂y ej    ==>  這是錯誤的定義。因為如果把 Cartesian coordinate 的格線放大 2 倍。ei and ej 也會放大 2 倍。 ∂f/∂x and ∂f/∂y 也會放大 2 倍。因此 ∇f 在 Cartesian coordinate 的定義即使在 stretched Cartesian coordinate 也是錯的! 更不用提 polar or 其他的 coordinate system.   

注意即使加上 ei/|ei|^2 and ej/|ej|^2 normalised basis 也沒用。因為  ∂f/∂x and ∂f/∂y 還是變大 2 倍!!

解救方案:

Gradient of scaler field 

定義 covariant basis and contravariant basis.   

NewImageusing Einstein notation.

注意此時用 contra variant basis.  如果格線放大 2 倍。 Covariant basis 放大 2 偣。但 contra variant basis 縮小 2 倍。剛好和 derivative 放大 2 倍抵消!  

但如果換到 polar coordinate 則如何?  加上 Jacobian for Tensor 轉換方向。

 

Gradient of vector field or tensor??

 

Directional derivative!!

Gradient 只是一個 vector (at point p in Euclidean space).  但各方向的 derivative 有無限多個 (depending on direction vector n).

結果 amazing!    n direction 的 derivative = n *  ∇f

 

 

 

 

 

 

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