微分幾何 I – Curve

by allenlu2007

微分幾何的幾個 concepts.

 

Step 1:  從 curve 開始!

雖然常聽到 tangent plane (space), manifold, … 等 2D, 3D higher dimension objects.

不過基本功仍是 curve!   Euler 也是用不同方向 curves 找 2D surface/manifold 的 principal curvatures.

在 spacetime 中也可以用光線 picture spacetime curvature.  

 

Step 2:  curve 一般是用 Cartesian coordinate + time (as parameter),

例如 (x, y) = (t, t^2) 拋物線。

或是 (x, y) = (cos(t), sin(t)) 圓周運動。

 

有兩個幾何上的問題:  

(1) 用 t 作 parameter 雖然有物理意義,但是幾何上並不唯一。例如拋物線 y=x^2 可以是

(x, y) = (t, t^2) 或是 (2t, 4t^2) 曲線都一樣。只是速度不同。同樣圓周運動速度增加或減少,甚至非等速圓周運動。就幾何角度沒有差別。我們必須移除 parameter dependency!!!

 

(2) 從幾何上而言,座標系是後天人為加上的東西。微分幾何的大忌就是選用特定的座標系,特別是 Cartesian coordinate.  因為 Cartesian coordinate 的所有 local bases 都一樣!!  需要考慮所有的座標系都有一致的結果 (例如如何定義 gradient, Laplacian, etc.)

 

先說 Solutions:

(1) 移除 parameter dependency!!  統一使用 arc length s as parameter, 就不會有不同 parameter 問題。可視為normalised to 速率為 1 的等速率運動 alone the curve.  Moreover, arc length 是實際幾何可以測量的值。

 

(2) 移除特定 coordinate system dependency!!!  使用 tensor.

 

本文說明 (1)

Reference: YouTube MathTheBeautiful : Tensor Calculus lecture 2.

 

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以下是用拋物線為例:

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以下是用圓周運動為例 demo parameter independency

先用等速率圓周運動 (速率 1) 為例。

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再來是加速率圓周運動 (速率 2t) 和任意速率 f’(t) 為例。

只要換成 arc length parameter, 幾何結果都和等速圓周運動相同。

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Frenet Framework Using Local (Intrinsic) Bases/Coordinate

其實以 smooth curve 來說,可以完全不用 exterior bases/coordinate (e.g. Cartesian or Polar coordinate).  curve 本身就可以找出 local bases 如下。

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自然導入 Frenet framework!!!

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