Tensor Calculus on Euclidean Space and Curved Space

by allenlu2007

聽了 YouTube 的 tensor calculus, 讓我腦洞大開。

幾個非常重要的結論:

 

先假設 Euclidean space (no curvature)  –>  其實等價 differential geometry 的 manifold tangent space!!

* 不要 pick 座標系.

* Invariant scaler or vector 是 0th order tensor. 

* Tensor 是 variant and based on coordinate system,  1st order tensor 在座標變換是差一個 Jacobian.

  2nd order tensor 差二個 Jacobian, …

 

* Einstein notation of (Tensor on covariant bases * Tensor on Contravarient bases) = invariant.

* Partial derivative (element) of tensor 不是 tensor.  必須加上 Christoffel symbol 變成 covariant derivative 才是。

* Gradient based on covariant bases 不是 invariant.  必須重新定義成 contra variant bases!!!

* Laplacian 如何重新定義 ???

 

* Position vector 是 invariant, 也是 0th order tensor (no index)

* Velocity vector 是 1st order tensor (差一個 Jacobian).

* Acceleration vector 不是 tensor!!  必須修正 Christoffel symbol!!

 

 

 

在 Curved space 以上結論如何變化

 

 

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