Differential Geometry 學習心得

by allenlu2007

 

大學上微分幾何完全沒有印象。再來是因為 Riemann 的博士論文是微分幾何而非著名的 Riemann hypothesis of zeros of zeta function 而對微分幾何好奇。接著是 Poincare conjecture 以及 Perelman 的故事。

最後感到興趣是因為 information geometry.  看是否可從 Riemannian geometry 能了解 statistical inference 甚至 deep learning 的 tool.   在聽了 coursera 的 image and differential geometry 關連對 differential geometry 更有興趣。很多 image, video, machine learning, kernel 應用也都間接和微分幾何相關。

 

起初一直沒有重點。一直到 YouTube “tensor calculus” 才找到重點!!!

Tensor calculus 的重點:

先假設 Euclidean space (no curvature)  –>  其實等價 differential geometry 的 manifold tangent space!!

* 不要 pick 特定座標系!!!  work on any coordinates!!!

* Invariant scaler or vector 是 0th order tensor. 

* Tensor 是 variant and based on coordinate system,  1st order tensor 在座標變換是差一個 Jacobian.

  2nd order tensor 差二個 Jacobian, … 

* Einstein notation of (Tensor on covariant bases * Tensor on Contravarient bases) = invariant.

* 用 covariant derivative 取代 partial derivative.

 

全部的重點就是不要 pick 特定 coordinate!!  Everything needs to work on any coordinate!!  (cartissan, polar, sphere, manifold local bases).    

Cartisan coordinate 是非常特別的特例。因為每點的 local bases 都一樣!   如果改採 tensor calculus 的 any bases, 自然就可打通所有的 manifold!!  (sphere 只是 manifold 的 special case).

metric tensor gij = Zij in tensor calculus.

建議先看 tensor calculus 再讀 differential geometry!!

 

可以定義 invariant gradient, divergence, and Laplacian!!!  

相同之處

Tensor calculus 主要是 focus on Euclidean space 的不同 coordinates.  Local point bases 都不同。

Differential geometry 的自變數 (u, v) 可視為是 tangent space (Euclidean space) 的自變數。同樣 local point bases 也是都不同。類似 tensor calculus.   所有 tensor calculus 數學都適用在 differential geometry.

Chritoffel symbol,  invariant gradient, divegence, and Laplacian 都相同!

差異之處:

* Tensor calculus 似乎假設 global Euclidean space.  只是不同 coordinate 有不同的 local bases.  Differential geometry 則是只有 local Euclidean space.  當然也會有不同的 local bases.  

* Geodesic: 在 tensor calculus 似乎完全不 care geodesic.  因為 global Euclidean space 的 geodesic 是直線。但在 differential geometry 這是 critical problem.

* Curvature:  如果是 tensor calculus global Euclidean space, 似乎沒有 curvature ?  但在 differential geometry 是最重要的特性。  yes.  在 tensor calculus in Euclidean space 的 Christoffel symbol 和 curve surface 的 Christoffel symbol 定義不同。差異就在 curvature.

* Connection: 在 differential geometry, 不同的 local Euclidean space 如何 connect together 似乎也和 tensor calculus 不同?

 

 

微分幾何的 key concepts

微分幾何的 key concepts 有二:

1. 座標系 independent.  不要 pick 特定座標系。要 work on 所有座標系。

2. Curvature.

Step 1:

我的經驗最好的順序是先用 Euclidean space 學習 1.  就是 YouTube MathIsBeautiful 的 tensor calculus!

熟悉:  covariant bases, contra-variant bases, 0th/1th/2nd order tensors (metric tensor 是 2nd order tensor), variant, invariant, Christoffel symbol, covariant derivative, Einstein notation, index raising and juggling, etc.

這些觀念都可以在 Euclidean space with differential coordinate system 得到以及驗証!!!  是一個 general framework.  可以直接 apply 到 curved space (with some modification of curvature!)

 

Step 2:

Manifold embedded in Euclidean space.   引入 curvature (mean and Gauss curvature).  重新改寫 step 1.

 

Step 3:

Intrinsic Manifold differential geometry.  移除所有 extrinsic coordinates.  (mean curvature 也會消失)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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