Covariant Derivative and Geodesic

by allenlu2007

 

前文 (Maxwell equation) 提到 covariant Derivative 其實就是把 Euclidean (flat) space 中的 partial derivative 延伸到 curved space 的 covariant derivative!!

本文參考 Wiki : covariant derivative

先假設有 manifold embedded higher dimension Euclidean space:

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注意 dimension.

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對於 near-by 的 tangent vector field, 可以定義 vector V:

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下面是重點,如何定義 covariant derivative, 先從 local basis, ei, 開始:  (wiki normal 的 scaling coefficient 似乎有錯).

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Christoffel Symbol Using Covariant Derivative

Using Einstein summation notation

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所以什麼是 Christoffel symbol?  就是座標變換的 coefficient, 類似 Jacobian.  

可以說是 “twisting” the coordinate

 

General covariant derivative

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Geodesic (Covariant Derivative along Curve)

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注意 Geodesic curve 就是 covariant derivative 都是 0 的 curve.  

想像在 flat space 中最短的線就是直線。∇r’ r’ = 0 => gradient of r’ = 0  r’ = a constant vector => r(t) 是一條直線!!

物理意義如下文。就是加速度不能在 surface (or manifold 的方向),只能在 normal direction 上。當然由於 surface 限制的關係,反作用力會讓 particle 貼在 surface 上。可以想像在太空中的 surface 上滑一個 particle.  初始方向和初始速度 (二次微分方程式) 決定後 particle 會從 A 點到 B 點 with constant velocity!!

廣義相對論的觀點: particle 不是因為重力讓 particle 走拋物線。而是重力 bend space-time 結構。 particle 走的仍是 bend space-time 的 geodesic, 也就是拋物線!!!  結論雖然一樣,意義完全不同。廣義相對論認為 space-time 是會受重力 bending, 這是內稟的特性。同樣對電磁波 (Maxwell equation) 或光也會受到重力的影響。正確的說法是 space-time 改變,光仍走的是 Geodesic.

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Affine Geodesics

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Covariant Derivative on Field

可以 act on tangent field, curve (part of tangent field), normal field, or vector bundle, fiber bundle.

 

 

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