Tangent Space, Vector Field, and Covariant Derivative

by allenlu2007

Ref: http://www.maths.manchester.ac.uk/~tv/Teaching/Differential%20Geometry/2008-2009/lecture1.pdf

前文討論 manifold 上的 tangent space 就是一個 vector field.  Manifold 鄰近點的 tangent spaces 造成不同的 vector fields.  一個自然的問題就是找出之間的關係。

先考慮一條 parameterised curve with parameter t (時間).

ei 是 歐氏空間的 basis.  (1) and (2) 是基本觀念。使用 Einstein summation notation.

 

NewImage

請參考 tensor calculus on Euclidean space 一文

 

例如: Cylindrical Coordinates (r-θ-z) 參考 MIT 

NewImage

NewImage

NewImage

可以看到 velocity 只有 ei 分量的1st order 導數 (r 只是 scaling constant).  這也是為什麼要定義 tangent (vector) space!!

但 acceleration 除了 ei 分量的 2nd order 導數之外,還有 ei 分量 1st order 導數。更重要的是其他分量 (ej, ek) 的 1st order 導數!!!   這個其他分量的導數就是 Christoffel symbol!!  這也是為什麼沒有 curvature space!! 因為和其他 basis 有關。

即使是在正交座標系 (cylindrical) 也會有 Christoffel symbol!  主要是因為不是 flat,  而是有 curvature!!

 

例如: Spherical Coordinates (r-θ-𝛗)

 NewImage

結論和 cylindrical coordinate 相同。

 

NewImage

 

上述 x(t) 是 curve 的 trajectory.  u(t) 可視為 tangent space (是 vector space).  不同時間的 tangent space or vector field 是不同的。目前先假設 vector space 是用 orthonormal basis, ei (如上例的 cylindrical or spherical coordinates).  當然 ei 是可以用一個 Cartesian coordinate 來表示。也可視 ei 就是 manifold 上的 local coordinate. (e.g. manifold 就是一個 sphere or cylinder).

所謂的 differential 1-form 就是 du on the tangent space coordinate!

NewImage

如上式。就是把導數 project 到改為下一時間的 vector field (tangent space) v, 而非 ei.  以上是利用 exterior Cartesian coordinate.  

如果完全不用 exterior coordinate, 而用 manifold 自己的 local coordinate, 是否仍可定義 du/dt?

NewImage

需要用 connection or covariant derivative 來 link 不同的 vector field.

NewImage

如果把 ei 改為 local coordinate.

NewImage

NewImage

 

在做 covarient derivative 時,很自然就會引入 2nd order derivative (xixj), 也就是 connection or Christoffel symbol. 

 

NewImage

 

什麼是 Covariant derivative?

參考本文 

http://www.physicsinsights.org/pbp_covar_deriv_1.html

其實就是 directional derivative!

常見的 directional derivative 就是 gradient.  gradient 是找 f(x, y, y) scaler 在 x, y, z 方向的 derivative.

有兩個重點:  (1) f(x,y,z) 是純量; (2) directional derivative 是在 coordinate 方向。

純量並非重點。也可以是向量,想成是三個純量。directioanl derivative 在 manifold 上就要變成是 vector 方向。

 

 

 

 

Advertisements