Tangent and Normal Space on Manifold – Vector Field

by allenlu2007

 

之前看過幾何學家 矢野健太郎 說自己的姓是 “Vector Field”.  其實還蠻貼切的。

熟悉電磁理論的人,對於 vector field 一定不陌生。所有的 E (電場) or B (磁場) 都是 vector field.

不過都是歐氏空間的 vector field.  

 

Review 幾個 vector field 基本定律。

f(x, y, z) 是個 scaler field.  ∇f 是一個 vector field.  而且是保守場 (conservative field). 

就是任兩點的線積分和路徑無關。

∮∇f∙dl = 0     純量場 gradient (向量場) 的 loop 線積分為 0, 保守場

B∙dl = ∯∇xB∙dS    向量場的線積分等於旋度(向量場)的面積分   (2D Green’s theorem, 3D Stokes’s theorem)

E∙dS =  ∫∇∙E dv      向量場的面積分等於散度(純量場)的體積分   (Gauss’s theorem)

 

下圖是一個 2D vector field 示意圖。一個缺點是不容易看出 field 分佈。

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相較之下把 vector field connect 起來成為電力線或磁力線更清楚。

這也是 connection 的濫觴。但並非真的數學上的 connection.

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以上是把 E field and B field 視為歐氏空間的 vector field.  事實上只是靜電和靜磁場的 special case.

同樣的古典 Maxwell equation 也是假設歐氏空間,也就是空間本身是均勻等向。

但在相對論之後,時空本身就是 curved space-time.  因此 EM field 就被修正為 curved space-time 中的 vector field.   可視為 (Pseudo) Riemannian manifold 上的 vector field!!  事實上用 tensor 定義 EM field 更簡潔且可直接 link to EM field Lagrangian.

 

Vector Field on Manifold

同樣在 (Riemannian) manifold 上,也可以定義 vector field 和對應的 Levi-Civita connection.

此時的 vector field 就是定義在每個 local P 上的 tangent space.  

Levi-Civita connection 就是鄰近點的 (linear and torsion free) connection on a curve space.

為什麼需要定義 connection? 或是為什麼在歐氏空間很少提到 connection? 因為在歐氏空間每點特性都一樣 (space invariant) 所以沒有所謂的 “tangent space” , 也不用定義 connection (affine, Levi-Civita connection).

因為在 manifold 不同點的 local coordinate and tangent space 完全不同,需要靠 connection 來拯救。。如何拯救?  顯然不是靠時間的 (total) derivative, 因為不同時間的位置不同,tangent space 也不同。無法定義一個全微分導數。是靠空間上的偏微分把兩個 tangent space 連結起來。

這就是 covariant derivative and connection 的關係。另外為了要定義 connection 連接不同的 tangent field, 需要加上 normal direction.  也帶出了 Christoffel symbol.  

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同樣 on manifold 也有 Stoke and Green theorem.

 

什麼是 Tangent Space (or Tangent Vector / Tangent Plane)

先看圖非常容易了解。Reference

3D Euclidean space 的 1D curve (manifold) => 1D tangent space (就是 tangent vector)

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3D Euclidean space 的 2D surface (manifold) => 2D tangent space (就是 tangent plane)

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有三個相關  objects:

1.  R: Exterior n-dimensional Euclidean space (就是 manifold 所在的空間。當然最終希望拿掉 exterior space, 全部在 intrinsic manifold)

2. Manifold:  k-dimensional manifold:  0 < k < n.  (k=0 or n 是 trivial case, ignore)

3. Tangent space:  也是 k-dimensional Euclidean space, 可以用 vector space 表示。 為什麼 tangent space 也是 k-dimensional?  因為 tangent space 是 1st order 的 manifold approximation at p 點。所以 tangent space 的 dimension 必須要和 manifold 一致。不然無法 approximation.


數學上的定義如下: (偷偷借用 exterior n-dimensional Euclidean space.  是否可以完全不用 exterior space? yes!)

r 是 free parameter, 是 k-dimension (1xk) 才能和 manifold 的 degree of freedom 一致。

p 是 n-dim (1xn); 但實際的 degree of freedom 只有 k, due to f(r) constraints on r.  (p 就是位在 k-dim manifold) 

f(r) 則是 n-k dimension (1x(n-k)).

f’(r) 則是 (n-k)xk matrix 

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Notation 就是 TpM.   Tangent space 有多大呢?  就是 g(r) 上所有的 vectors.  既然是一個 vector space, 可以用 matrix 來表示如下。一個重點是 zero vector 永遠在 tangent space.  也就是所有的 vectors 都要通過原點。

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上述的橫線只是分隔線,matrix 的上半部是 Ik (kxk), 下半部是 f’(ro) ((n-k)xk) 不是除法。勿誤會。 

因為 matrix 項是微分。所以任何的 coordinate translation 都不會改變 tangent space!!

How about (invertible) linear mapping?  會改變 tangent space 嗎? 如果是 unitary mapping ok.

 

舉例而言 

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p 是 3D.  f(x) (or f(r)) 是 2D.   x (or r) 是 1D (parameter).

n=3,  k=1, n-k=2.  Ik (1×1),  f’(r) (2×1) 如下。h=0 通過原點。

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第二個例子

p 是 3D.  f(x) (or f(r)) 是 1D.   x (or r) 是 2D (parameter).

n=3,  k=2, n-k=1.  Ik (2×2),  f’(r) (1×2) 如下。h1=h2=0 通過原點。

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How about Local Loci (manifold)?

上述是針對 parameterisation manifold.  就是存在 r 的 free parameters as 自變數。

如果是隱藏在 algebra equation or local loci.  結果如何?

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如果 F(r, s) = s – f(r) = 0   ==>   s = f(r) 回到原來的 case. 

Fs’ = Ik    Fr’ = -f’(r)  驗証 consistent. 

 

是否能找出另一種 tangent space 的表示方法?  把上式乘開:

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也就是可以用 F’(p) 的 null space 來定義 tangent space.   Again, if F(r, s) = s – f(r) = 0

Tangent space m 也就是 (Ff’, Fs’) = (-f’(r), Ik)  的 null space.

(Ik, f’(r)) * (-f’(r), Ik) = 0!!

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How about Normal Space?

相對於 Tangent space 是 F’(p) 的 null space.  還有一個 normal space 是垂直於 tangent space.

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以本例而言,normal space 有兩個自變數 (k1 and k2).  可以定義出很多的 basis.  前文討論過可以用 Frenet frame 進一步限制 degree of freedom.

 

 

 

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