Differential Geometry of Curves – Frenet Frame

by allenlu2007

 

本文討論在 3D 空間中的 curve.  假設 curve 本身是 smooth and differentiable (注意這個定義也有 trick, 參考 lecture 1). 

本文參考 Stanford CS468 Spring 2013 Lecture 1 and 2.

 

* Curve 算是最簡單的 geometry (point 是 trivial).   2D 上的 curve 是我們比較熟悉的 topic.

此處忽略。主要聚焦在 3D 上的 curve.  在一般中學大學教科書比較少討論。

 

Parametric Form and Algebraic Form

* 不論是 2D or 3D 的 curve 或 surface.  有兩種表示方式: (1) parameterization;  (2) algebraic equation.

舉 2D 上的圓而言,如果用 (1) parameterization t (時間), 常用的公式是 (x, y) = (cos(t), sin(t)).

如果用 (2) 則是 x^2 + y^2 = 1.

 

Algebraic equation 好處是直觀。例如圓就是 (x^2 + y^2 = 1), 橢圓是 (x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1).

表示式是唯一 (或等價) 的定義,當然這是假設同一參考座標系。圓如果用極座標系則是 r=1. 

 

Global and Local Coordinate 

除了 parametric form and algebraic from 分類外,另外的分類是 global and local coordinates. 

Algebraic form 很明顯就是在 global coordinate framework 上。

Parametric form 則可以架構在 global coordinate 或是 local coordinate frameworks.

 

Parameterization of Curve and Surface 

Parameterization 的好處是常含有物理意義。例如 t 一般是時間。因此可以推出速度, 加速度, .. etc.

但 parameterization 表示式不唯一。可以有多種定義,不一定是時間。

例如 2D 圓也可定義為 (x, y) =  (2u/(1+u^2), (1-u^2)/(1+u^2) ).

這是有理式的 parameterization, 和 projection geometry 有關,也有其物理意義。

另外 parameterization 的 smooth and differentiable 並不等價 curve 本身的 smooth and differentiable. 

 

乍看之下 parameterization 是引入額外的參數 (如 t, u), 把簡單的問題複雜化。但有時引入多的參數 (或自由度, 維度, 空間) 反而可以簡化事情。這在 machine learning, computer architecture 都常見。

Gauss 就是把 parameterization (u, v), 用在 differential geometry (surface) 而得到豐富的結果。

得到 1st and 2nd fundamental forms of differential geometry, bilinear form, Gauss curvature, etc.

 

Parameterization 的一個主要好處是可以 link 不同點的 local coordinate, 而不需要用到 global coordinate (?).  下文就是討論 3D curve 的 local coordinate (Feret).

 

3D Curve with Parametrization

Curve 算是最單純的 geometry object.  我們用 arc length s (而非 t) 做為 parameter.   Arc length s 可以視為 unit velocity 1m/sec * t (時間)。所以可視為勻速 (1m/sec) 運動的時間 t.  

以 2D 圓而言:  s = 2 π t * 1 ==>  t = s / 2π  ==>   (x, y) = ( cos(s/2π), sin(s/2π) )

 

Frenet Frame

Frenet frame 是一種 local coordinate with {T(s), N(s), B(s)}   T 是 tangent, N 是 normal, B 是 torsion.

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The Frenet formulas

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The following is from Wikipedia.  看來 B’ 和上述 equation 不同!  上面應該寫錯了。

Wiki 是對的。

 

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以上是所有關於 3D space 的 curve.   

 

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