Galois Group Using Field Extension Automorphism

by allenlu2007

前文提到 p(x) (or p(t)) 的 Galois group 就是根置換是否讓所有定義在 Q 的根的多項式已知且不變。

這樣的置換群集合稱為 Galois group 是,  Sn 的子群。

舉例而言:  二次方程式 over Q.

p(x) = x^2 – 3x + 2 = 0  的根是 α=2 and β=1.  所以  α-2=0  只有 α 是 invariant, 不能換成 β.

=> Galois group = {e}

反之 p(x) = x^2 + x + 1 = 0  的根非有理根。 所以只有 α+β, αβ 和基本對稱多項式組合的多項式是已知 and invariant.  所以置換群是 {e, (12)} = Z2.

 

三次方程式 over Q. 

同樣如果有一有理根,則化簡為二次方程式。

如果是 irreducible 三次多項式。分為兩類:

∆ = (α-β)(β-γ)(γ-α)  ∉ Q

例如 x^3 – 2 = 0.  此時根的多項式只有基本對稱多項式的組合是已知 and invariant.  所有 invariant 置換群集合是 S3.  

反之如果  ∆ = (α-β)(β-γ)(γ-α) ∈ Q

很明顯 (12), (23), (13) 無法 invariant.  只有 {e, (123), (132)} = A3.

 

以上就是從根的置換角度來定義 Galois group.  可能也比較接近 Galois 的原意。

 

Field Extension Automorphism

以上定義雖然直觀。但有一些缺點。

1. 只有定義 Q 的 coefficient and Q 的已知和 invariant.

2. 如何找到對的 polynomial (e.g. ∆) 似乎是 art rather than science.

 

Abstract algebra 是從另一個角度定義 Galois group; 就是 field extension automorphism.

其中包含兩個觀念: field extension and automorphism.

Field extension 簡單說就是在一個 base field F (F 滿足 field 定義) 加上一個參數 α ∉ F (e.g. √2, i) 形成一個新的 field E.  這個參數 α ∉ F 對應一個 irreducible polynomial over F 的根 (至少二次方程式) (e.g. x^2-2 =0, or x^2+1=0).

Automorphism 則是 field A map to field B 的 function 𝛗 是 one-to-one and onto (bijective); 同時定義域和值域是相同的 (E -> E).  

Automorphism of Field extension E/F,  Aut(E/F) 是 𝛗(x) = y,  where x, y ∈ E.  是 one-to-one and onto.

𝛗(xy) = 𝛗(x)𝛗(y); 𝛗(x+y)=𝛗(x)+𝛗(y),  還有很重要的 feature: 𝛗(a) = a  if and only if a∈F!!!

意即所有在 base field F 的 element 只會映射到自己。但在 F 之外的 E 則映射到不同值 (除了 trivial case).

𝛗(a+b√2) = c+d√2  (for α=√2 or x^2-2=0), where a, b, c, d ∈ F.

如何求 c and d?  

First 𝛗(a) = a =>  c = a.   𝛗(√2) 𝛗(√2) = 𝛗(√2)^2 = 𝛗(√2^2) = 𝛗(2) = 2 => 𝛗(√2) = +√2 or -√2

+√2 是 trivial case.  -√2 是唯一的 case.  => d = -b  (conjugate case).

𝛗(a+b√2) = a-b√2   所以 automorphism group = Z2.

 

Galois Extension

If E/F is a Galois extension, then Aut(E/F) is called Galois group of the extension E over F, Gal(E/F).

什麼是 Galois extension, 就是 E/F 必須是 normal and separable.  Separable 是無重根。 Normal 是所有方程式的根都在 F.  

Aut(Q(√2)/Q) = Gal(Q(√2)/Q) = Z2.

Aut(Q(∛2)/Q) => 對應 x^3-2=0.  但 Q(∛2) 並非 normal field extension!!  所以無法定義 Gal(Q(∛2)/Q).

但仍可定義  Aut(Q(∛2)/Q) = {e}.  

或是

Aut(Q(∛2, ζ)/Q) = Gal(Q(∛2, ζ)/Q) = S3.

 

幾個例子

Aut(C/R) = Gal(C/R) = Z2 :   F=R,  E=C,  α=i or x^2+1=0 (over R);  𝛗(a+bi) = a-bi  or 𝛗(a+bi) = a+bi  (trivial).

Aut(F/F) = Gal(F/F) = e.  (trivial)

Gal(Q(√2)/Q) = Z2:  F=Q,  E=Q(√2),  α=√2 or x^2-2=0 (over Q);   𝛗(a+b√2) = a-b√2  or 𝛗(a+b√2) = a+b√2  (trivial).

Aut(Q(∛2, ζ)/Q) = Gal(Q(∛2, ζ)/Q) = S3:  α=∛2, ∛2ζ, ∛2ζ^2 or x^3-2=0 (over Q).  𝛗 可以有 S3 mapping.

另外再看一個 tricky example: f(x) = x^3 -3x – 1 = 0.   可以 show f(x) 的 discriminant 是完全平方數。

假設其中一個實根是 α (-2cos(2π/9), 非有理數), 其他的實根是 function of α:  α, 2-α^2, -2-α+α^2.

因此 Aut(Q(α)/Q) = Gal(Q(α)/Q) = Z3 (or A3) 而非 S3.

 

回到之前 Galois group 用根置換群定義的缺點: (1) 是否只 over Q? (2) 如何找到有理多項式?

使用 field extension automorphism 的好處是 E and F 是清楚定義。 F 可以是 Q, R, 也可以是 Q(√2), or any other field.  只要 α ∉ F, 且能找到 g(α) = 0 over F.  就可以定義 F = E(α). 

第二點則是如何判斷 Galois group.  此時不用找有理多項式,而是看 F 是否包含所有 g(x)=0 的根。如果 E 包含所有 g(x)=0 根則是 normal extension (也假設無重根 – separable).  這是最完美的 case!  代表 Galois group 或是 Galois extension E/F.  

乍看之下好像比較容易判斷是否所有根都在 E compared with find a root polynomial invariant.  

在 Q(√2) or Q(∛2) 一眼就可看出 x^2-2=0 or x^3-2=0 是否根都在 E 上。

但 f(x) = x^3 – 3x – 1 = 0 case 則非如此。很難判斷是否所有根都在 Q(α) where α is one root of f(x). 

所以還是要藉助一些特別的 function (discriminants or 變形) 來判斷。

 

下面是另一個例子 Q(√2, √5).  同樣可用 4 次方程式的 field extension.

Aut(Q(√2, √5)/Q) = Gal(Q(√2, √5)/Q) = V;   𝛗(a+b√2+c√5+d√10) = a +/- b√2 +/- √5 +/- √10. 但之間並非 independent.  另一個 mapping 是 𝛗(??) 可以直接對應到 V group?  { (), (14)(23), (12)(34), (13)(24)}.

 

NewImage

 

Galois extension 可以有 intermediate field extension.  

舉例而言:  Q(∛2)/Q 非 Galois extension;  但 Q(∛2, ζ)/Q 是 Galois extension.  可以有 intermediate field 

Q -> Q(∛2) -> Q(∛2, ζ)

 

另一個重點是 intermediate field 和 normal extension 的關係

F < L < E   if E is a normal extension field of F.   E 也會是 normal extension of L.  

反之 L 不一定是 F 的 normal extension (大多不是).

 

Q < Q(∛2) < Q(∛2, ζ)   明顯 Q(∛2, ζ) 是 normal extension of Q. 

Q(∛2) 不是 Q 的 normal extension.   但 Q(∛2, ζ) 是 normal extension of Q(∛3)

Q < Q(ζ) < Q(∛2, ζ)   同樣 Q(∛2, ζ) 是 normal extension of Q(ζ)

 

更重要的是: intermediate field extension 對應的是 subgroup.

只有 normal field extension 才對應 normal subgroup.  而且是一一對應。這是 Galois correspondence.

也是 Galois theorem 最重要的結論。因此只要從 subgroup 的 behavior 就可以判斷出是否有 proper field extension to solve the equation.

 

 

 

 

 

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