Integral Domain, Ideal, Principal Ideal, Quotient Field, Extended Field

by allenlu2007

 

Abstract Algebra 的 group 和 field 的觀念都很直觀而且清晰。
 
以 group 為例,除了 non-Abelian group 以外,其他的 finite field 都相當容易了解。
 
以 field 而言,可以想像就是所有有理數 (close under +, -, / , *), 或是所有 real number, etc.
也非常直觀。
 
比較不那麼直觀的是 ideal, principal ideal, 
 
其實 ring 最基本可想為 integer.   closer under +, -, *, 但沒有 / 的觀念!
當然 ring 也有 non-commutative ring, 不過是比較例外的 case.
如果只考慮 commutative ring with 1 (* unit) and no zero-divisor –> 稱為 integral domain!!
 
 
Integral domain (特殊 Ring) 最重要的 mission, 是從 ring 出發定義 quotient field!!!!  
而不是 from scratch to build a field.
 
 
 
如何從 Ring 出發 build Field?  Key 就在 ideal, principal ideal, and quotient ring (?)
 
舉例而言;  Z 是 ring.   5Z 是 ideal (而非 sub-ring,  沒有 sub-ring 的觀念, 因為?)
10Z 也是 ideal.  但 5Z 是 principal ideal compared with 10Z.  
Principal ideal 是最大的 ideal (不含 Z) 包含原 ideal.   因此 10Z 被 5Z 包住。 10Z 非 principal ideal.
5Z 無法被更大的 ideal (other than Z) 包住。所以 5Z 是 principal ideal.
 
 
下一步是 quotient ring or field.
就是 Ring quotient principal ideal 會造出一個 quotient field.  
 
可以証明所有的 finite field 都是 p or p^n elements.  isomorphism to GF℗ or GF(P^n).
 
所以 Z/5Z 是 finite field.   Z/10Z 不是 field!!!
 
以上是 trivial example!!
 
 
更重要是延伸以上的觀念用在其他的 Integal domain (Ring)!!!!  例如多項式 ring!!!
 
*  多項式的 coefficient over F field (例如 Q, I, R, or any finite field) with t parameter, 可以定義 ring!
   e.g.   3/5 + 2 t  (F is Q).     1 + 3t  (F is I).    or    1 + 2t + 2t^2  (F is Z/3Z). ,,,l
   因為多項式只有 +, -, *,  closure,  但沒有 / closure.  所以是 Ring.
 
*  下一步是找 ideal!!!!!!!!!!!!!!! 特別是 principal ideal!!!!!!!!
   什麼是多項式的 ideal?   就是找出任一特定多項式 p(t), 想像 p(t) 所有的倍數構成的 ring (就是 ideal).
   (3/5 + 2t) * any element in the polynomial ring = ideal.
 
* 什麼是 principal ideal?  就是 p(t) 是 irreducible polynomial over F!!!!!  所構成的 ideal.
 
* 下一步就是定義 Quotient field =>   polynomial coefficient over F field  來 mod p(t) (i.e. let p(t) = 0)  where p(t) is irreducible on F.   此時我們得到一個 quotient field!    重點是 t 是 quotient field 的 root!  此時 quotient field 大都是 infinite field.  
 
* 這個 quotient field 乍看之下毫無用處。但當和 extended field (解 p(t) = 0) 結合在一起就成為 powerful weapon to solve 方程式 p(t) = 0.   也就是 Galois theorem 的精髓。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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