Group Theory 的幾種理解方式

by allenlu2007

 

學習 group theory 對我而言是如何把抽象的東西具象化。

其中幾個重要的具象化方式: 

1. 最基本的是 group element operation matrix.  就是 n element group 做成的 n x n operation matrix.

有點像 logic truth table.  基本上只適合在 n 很小時有用。有點像在玩 sudoku, 每行每列都不能有重覆的 group element.

 

2. 從 permutation (置換) 出發。忘記誰証明所有的 finite group 都是 symmetry group (Sn, fully permutation group) 的子群。這是很 powerful 的方式。同時可以用 cyclic notation, e.g. (12), (12)(34), etc. 來代表 group elements.   不過數學上比較不熟鍊,例如 (12) + (123) = ? 需要再建立 intuition. 

 

3. 從對稱性出發,搭配 Cayley diagram.  從圖形和對稱的方式來理解 group theory.  前文有提到。這是我覺得很有收獲的方式。同樣圖形的方式很難 scale 到大的 group. 

 

4. 最新學的方式是用 vector space 的 (linear transformation) representation 來代表 group.  可以參考 wiki “Group representation”.

請參考 Matthew Salomone on Youtube: Exploring Abstract Algebra II.  Excellent lectures!!

In the mathematical field of representation theorygroup representations describe abstract groups in terms of linear transformations of vector spaces; in particular, they can be used to represent group elements as matrices so that the group operation can be represented by matrix multiplication.

 

representation of a group G on a vector space V over a field K is a group homomorphism from G to GL(V), the general linear group on V. That is, a representation is a map

 

\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)

 

such that

 

\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.

 

Here V is called the representation space and the dimension of V is called the dimension of the representation. It is common practice to refer to V itself as the representation when the homomorphism is clear from the context.

以上的話或數學看來非常拗口。其實就是 group 可以用 vector space 的 linear transformation 來代表。也就是 G 可以等價 (homomorphism) 於  y = Vx 中的 V.   每一個 group element 對應於一個 matrix.   group element 之間的 operation 就是 B y = B A x =>  (B A) 就是 matrix multiplication.   這是非常大的觀念突破!   
舉例而言,permutation group 可以用  matrix with {0, 1} element 表示:

S3 group is isomorphism to V=  {
[1 0 0;
0 1 0;
0 0 1],    => ()

[0 1 0;
1 0 0;
0 0 1],    => (12)

[0 0 1;
0 1 0;
1 0 0],     => (13)
 
[1 0 0;
0 0 1;
0 1 0],    => (23)
 
[0 1 0;
0 0 1;
1 0 0],    => (123)

[0 0 1;
1 0 0;
0 1 0]    => (132)
}  

以上的 matrix element 可以用  y = V x 驗証。

因為所有的 finite group 都是 permutation group 的子群。理論上所有的 finite group 都可以用 V 表示!!
 
上述說法理論為真。實務上可以更精簡。舉例而言:  Z4 = {0, 1, 2, 3} 是 finite abelian group.  Z4 是 S4 的子群。對應的 V-representation 可以用 4×4 的 matrix 代表。顯然不是很精簡的方式。
 
另一個方法是用 2×2 的 rotation matrix 代表:
V_Z4  = {
[1 0;
0  1]  =>  0
[0 1
-1 0]  =>  1   
[0 1      [0 1        [-1  0
-1 0]  x  -1 0]  =  0   -1]    =>  2
,
[0 -1
1 0]  =>  3
}
 
如果從 rotation group 來看:
R =
[cosθ, sinθ
-sinθ,  cosθ]  
when θ = π/2
R = [0, 1
       -1, 0].
 
比較起 4×4 matrix, 2×2 的 rotation matrix 所構成的 linear transformation V 更精簡,也更有物理意義。
只是多了 -1 element.  也就是 {0, +1, -1} as elements.
再次強調,V representation 並非唯一。甚至對應的 linear space dimension 也非唯一。
 
另一個特點是 permutation/symmetric group 的 cyclic notation 可以很容易用  {0,1} matrix 表示。
只要把對應的 column vector 置換就可。
Example:  S5 中的 (134)(25) element:
[0 0 1 0 0
 0 0 0 0 1
 0 0 0 1 0
 1 0 0 0 0
 0 1 0 0 0]
請參看  Salomone 在 youtube 的 lecture.
 

Why Vector Space Representation?

最簡單的說法就是可以 leverage linear algebra 的所有特性和直覺。另外也可以直接延伸到 infinite group. 
舉例而言:
Symmetry (Permutation) group 的 index 和 V 的 dimension 相同.  S3 的 3 和 V 的 3-dimension 一樣。
* V 的 determinant 是 +1 or -1.  所有 +1 所構成的子群就是 alternating group (An).  An when n>=5 是 non-solvable group.  這是著名的 Galois theory 結論之一。對應五次和高次方程式無根式解。
* 如果不限 matrix element 是 {0, 1} 而是 real number, 則變為 infinite group!  就是著名的 Lie Group.  對於物理學有重大貢獻。
Vector space representation 的 group theory 就是 representation theory.   


 

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