方程式可解性 – 可解群

by allenlu2007

 

五次方程式的可解性首先由 Abel and Ruffini 証明是不可解的。

他們的結論是可解性必須滿足 permutation commutative 如下。

也就是可解性的充分條件 (if commutative, then solvable).  反之為真嗎?

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Reference: Rosen “Abel and Equations of the Fifth Degree”.

 

五次方程式不滿足 commutative permutation,因此通式是無解的。

 

Galois 更進一步找到任意方程式可解性的必要以及充分條件 (if and only if – iff 若且唯若).  這是本文的重點。

 

Galois Theory

Galois Theory 只有一句話:  

方程式可解的充分必要條件就是根對應的 Galois group 是 Solvable group (可解群)。

 

以下就說明什麼是根對應的 Galois group 以及什麼是 Solvable group.

Galois theory 的重點:

1.  首先找到方程式根所對應的 Galois group, Gn.  

In general, n 次方程式的根對應的 Galois group 就是 Sn 對稱群。也就是任何根的有理式 r(α, β, ..) 在 Sn 所有的 n! permutation invariant if and only if (r(α, β, ..) ∈ Q).  

註解: Galois group 是 Sn (n!) 對稱群是 worst case.  而非 good case.  代表無縫的蛋,非常難下手。對於一些 n 次方程式的特例: 根所對應的 Galois group 是 Sn 的 subgroup, 反而比較有機會解。另外實際上在解 Galois group = Sn 的方法也是找到有理式 r(α, β, …) 滿足部份對稱性 (permutation invariant).  

簡單來說,愈對稱的東西就美學的角度愈美。但就解根的角度就愈難,因為愈難打破對稱性。 

 

2. 從 Galois group, Gn, 開始建構一連串的子群  Gn ⊃ Gn-1 ⊃ ….G1 ⊃ Go = {1}, 就像找一連串的因素 (不是質因素分解!) 一樣: 24 > 12 > 4 > 2 > 1.  但要滿足兩個特性才能稱為 Solvable group, 缺一不可。

(a)  Gn-1, Gn-2 …, G1 必須是 normal subgroup (正規子群) of the previous group.  

      也就是 Gn ⊳ Gn-1 ⊳ … ⊳ E

(b) From (a), 可以定義 Quotient group (Gn/Gn-1, Gn-1/Gn-2, …, G2/G1, G1/Go).  所有 Q group 都必須是 Abelian group (也就是 commutative group). 

 

註解: (a) and (b) 並不等價,也不相互包含。舉例 S3 ⊳ A3 ⊳ E 滿足 (a); and quotient group 是 (S3/A3 ≣ C2) and (A3/E ≣ C3) 滿足 Abelian group (b).   因此 S3 是 Solvable group. 

相反 S5 ⊳ A5 ⊳ E 雖然有 (a); 但是 quotient group (S5/A5 = C2) 是 Abelian, 但 (A5/E ≣ A5) 不是 Abelian!  因此  S5 並非 Solvable group.

Sn for n ≧ 5 都不是 Solvable group!   也就是任意五次或更高次方程式無根式解!

Abel and Ruffini 的解類似 2.(b).  也就是五次方程式根的不滿足 permutation commutative 條件。

但 Abel and Ruffini 的方法並未考慮一些特別的五次或高次方程式是可解 (e.g. F20 Galois group in 五次方程式是 Solvable group).  也沒有一套解的方法。 Galois 則是給定具體的可解性以及如何解的方法。

 

Others Points

* Sn for n ≧ 5 都不是 Solvable group.

* Abelian group G 的所有子群 H 都是 normal subgroup.  因此可以找出對應的 quotient group G/H. 

  G/H 也是 Abelian 嗎?  Yes.   Prove in here.

  E.g.  Z4 = Z/4Z 是 Abelian group.   G = {0, 1, 2, 3} 加法 under modulo 4.   N = {0, 2} 是 subgroup.

   G-N =  {1, 3} 是 both left and right coset.   Quotient group Z4 / {0, 2} = { {0, 2}, {1, 3} } 兩元素。

   e = {0, 2}  ;   a = {1, 3}   ;    e = n+{0, 2};   a = (g-n)+{0, 2}

   e * e = ( n1 + {0, 2} )+ (n2 + {0, 2}) = (n1 + n2) + {0, 2} = {0, 2} = e

   e * a = ( n1 + {0, 2}) +( (g-n2) + {0, 2}) = (n1 + (g – n2)) + {0, 2} = {1, 3} = a = a * e

   a * a = ( (g-n1) + {0, 2}) + ( (g-n2) + {0, 2}) = ((g-n1) + (g-n2)) + {0, 2} = {0, 2} = e 

   e + e = e  ;  e + a = a + e = a ;  a + a = e.   The quotient group is isomorphic to Z2.     

 

   非常容易 confused.  其實如果是 normal subgroup, 才可以定義 Quotient group.  同時

   (aN)*(bN) = a (Nb) N = a (bN) N = (ab) NN = (ab) N  =>  (aN)*(bN) = (ab) N!!   where a,b ∈ G.

   所以如果 G is Abelian =>  ab = ba =>  (aN)*(bN) = (ab) N = (ba) N = (bN)*(aN) => Quotient group is Abelian.

 

* S4, A4 都是 Non-Abelian group.  S4/A4 and A4/V4 Quotient group 都是 commutative.  所以 S4 是 Solvable group. 

   S4 ⊳ A4 ⊳ V4 ⊳ C2 ⊳ E

* 任何 prime p order group (p 是質數) 都是 isomorphic to cyclic group with p order.

* 因為所有 cyclic group 都是 Abelian group.  因此所有 prime order group 都是 Abelian group.

* 反之非真。例如 Klein-4 group 是 Abelian group, 但 order = 4 並非質數。

* 以上結論用在 quotient group 是否是 Abelian group 很有用。如果 quotient group 的 order 是質數 (2, 3, 5, ..), 則是 Abelian group.  

 

 

 

Why Galois Group,  A Serial of Subgroups, Normal Subgroup, and Commutative Quotient Group?

回到 Galois theory.  為什麼 Solvable group 要定義 Galois group, Normal subgroup, and Commutative quotient group?

1. 首先是 Galois group G.  這比較容易理解。就是找出方程式的根滿足何種對稱性 given coefficient field (e.g. Q or Q(..)).   In general G = Sn.  就是最難的 case.  因為所有的根 ∉ Q, 都是 conjugate roots.  很難找到縫可以鑽。只有所有 permutation invariant 的有理式 ∈ Q, 也就是基本對稱多項式或是 function of 基本對稱多項式可用。  

反之另一極端,如果所有的根都是有理根。任何根的有理式 ∈ Q.  也只有 identity permutation 才有 invariant.  也就是沒有任何 permutation invariant.  動則得咎。到處都是縫可以解根。例如可以用 rational zeros theorem (or rational roots theorem) 或是 Eisenstein’s criterion 解根。   

 

2. 再來是為什麼要 construct a serial of subgroups.  其實就是為了解根鋪路。

簡單說就是可以 construct 一串 split Galois group.  最後得到 Galois group = E. 

每一個 normal subgroup 就相當於 partially break Sn symmetry 只保留部份的 permutation invariant.  例如 S3 ⊳ A3 就可以把原來的 6 permutation invariant on elementary symmetry polynomial 打破成兩組 A3 permutation invariant functions.  注意並非把原來的三次方程式變成二次方程式。 

 

3. 為什麼一定要 normal subgroup 而非一般 subgroup? 從 group theory 角度要是 normal subgroup 才能定義 quotient group.  從解根角度,必須是 normal subgroup 才能保証可以一致 split high order Galois group to lower order Galois group.  不會有兩種不同的 split. (上例的兩組 functions 最終是一致的分法).

Normal subgroup 特性和 group split 有關。

 

4. 最後為什麼 quotient group 必須是 Abelian (commutative)?

這應該和實際上如何在 field 解根有關。如果 quotient group 是 Abelian, permutation operation 和 algebraic operation 是可以交換。才能得到可解的兩組 A3 permutation invariant functions.

Quotient Group 必須是 commutative 特性和 field extension 有關。


Abel 了解 commutative 必要性。但他並不了解 normal subgroup (by Galois) 的必要性。

這可能需要用例子說明。

 

2, 3, 4 => 其實正確的解釋是要用 field extension!!!  而不是只從 group 的角度解釋!!

可以參考 youtube video.

為了要求方程式根式解。需要做一連串的 (normal) field extension. 如下圖 F to E.

所以 group 只是對應的 operation.  為什麼要用 group?  因為 Galois group 是 finite group.  Operate on group 比 operate on field 容易的多。

不過 group 必須 catch 到 field 的特性。一連串 field extension 比需有以下的特性:

1. normal field extension:  不只是 simple field extension. 而是 normal field extension.  Normal field extension 是所有的 (conjugated) root 都必須在 extended field.

!!! Yes.  必須從 field 角度來看。(normal) Group 只是根據 Galois correspondence 的結果。為什麼要 normal field extension?  因為只有 normal field extension 才能讓所有的根都在同一個 extended field. 也稱為 split field.  如果不是 normal field extension, 就會少了一些 roots, 也就讓對應的 Galois group automorphism 破功。!!!

2. Field extension 本身是 commutative.  

==> 1 and 2 對應的 group 特性就是 normal subgroup and Abelian quotient group. 

同樣的也是因為 radical solution 是 field.  field 本身一定是 Abelian.  所以對應的 quotient group 也必須是 Abelian.  更簡單來說 automorphism of roots 要滿足 𝛗(rs) = 𝛗(r)𝛗(s) =  𝛗(s)𝛗(r) = 𝛗(sr).  因此對應的 quotient group 必須是 Abelian.  Abel 也發現這一點。

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