三次方程式 – Cubic Equation Using Galois Theory

by allenlu2007

 

前文提到三次方程式有 Cardano cubic equation, 其解如下:

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x1 = V1 + V4 ;   V1 就是 RHS 的第一項。V4 就就是 RHS 的第二項。

x2 = ωV1 + ω2 V4

x3 = ω2 V1 + ω V4

 

定義 A = -q/2 ; R = (p/3)3 + (q/2)2 

如果 R 是一個平方數,x1 看來屬於 Q(∛c1, ∛c2),  c1 and c2 是有理數。

但不要忘了 x2 and x2.  必須考慮 Q(∛c1, ∛c2, ω)

 

之前有一個矛盾之處是  D = [(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)]2 = -108 [(p/3)3 + (q/2)2] = -108R

也就是 √D = √(-108R) = 6 √(-3R), 決定根的 Galois group 是 S3 or A3. 

 

Partially Break Symmetry 

從 Galois group 來看:  S3(6) ⊳ A3(3) ⊳ E(1)

前文提到要 partially break symmetry.  先找有理式 (r, w, ..) 是 A3 invariant, 但非 S3 invariant.

這樣的有理式有無限多個,以下為一些例子。

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所以如果 √D ∈ Q,  可以保証 (w, w’), or (r, r’), or (k, k’) ∈ Q.  

如果 √D ∉ Q.  (w, w’), or (r, r’), or (k, k’) ∈ Q(√D)

從 S3 ⧐ A3 就是解出 (w, w’) or (r, r’), or (k, k’), 唯一的問題是如何解 α, β, γ? 或是如何 A3 ⧐ E?

 

Partially Break Symmetry with ω

上述 w, r, k 最大的問題是雖然容易解 (w, w’), (r, r’), (k, k’) 二次方程式。但無法容易解 α, β, γ.

我們需要找 α, β, γ 的 linear combination partially break symmtry (A3 invariant, 但非 S3 invariant).

答案是 

θ = t13 = (α + ω β + ω2 γ)3     A3 invariant

θ’ = t23 = (α + ω2 β + ω γ)3    A3 invariant

 

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此時如何 link D and R?  可以從 t1^3 + t2^3 and t1^3*t2^3 得到 t1^3-t2^3. 

但更直覺的方法如下。在 Q(ω) 引入 δ = √-3 後,  t1^3 – t2^3  = ±√(-27D)

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重要的觀察是 ω 造成 δ (√-3), 所以最後 t1^3, t2^3 ∈ Q(ω) or Q(√-3) if D or R 是平方數。

如何打破最後的 A3=C3?  就是利用 t1, t2, and α+β+γ = 0.

 

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