丟石頭和牛頓萬有引力

by allenlu2007

 

今天在聽科學有聲音網路節目。主持人汪洁提到牛頓如何思考得出萬有引力。我覺得蠻有趣的。

首先考慮站在一個高塔 (高度 h) 上水平丟石頭 (初速 vo)。

16世紀當時加利略,已知軌跡是拋物線,落地加速度是 g (9.8 m/sec^2) 

h = 1/2 gt^2 => t = sqrt(2*h/g)   這是落地的時間。

石頭水平飛出距離是:  D = vo * t = vo sqrt(2h/g)

假設初速 vo 夠大。 h = R (地球的半徑),  同時讓 D = 2R = vo sqrt(2h/g) = vo sqrt(2R/g)!!

此時石頭永遠不落地而成為繞地的衛星!  為什麼是 D = 2R 而不是 R?  主要是湊答案。

可以直觀記成是石頭掉到地球另一邊,持續運行不斷。

 

此時的速度稱為脫離(地球)速度。也稱為第一宇宙速度。第二宇宙速度是脫離太陽系速度。

vo = 2R / sqrt(2R/g) = √(2Rg)   escape speed for earth.   (reference: Wiki escape velocity)

g = 9.8m/s^2;  R=6371km;  vo = sqrt(2Rg) = 11175 m/s = 11.2 km/sec.

 

R 可以是任何大於地球的距離,對於的 g 也要改成距離 R 時的重力加速度。

注意因為 g 和 R 成平方反比。所以 R 愈大,√(2Rg) 愈小。

所以初始速度如果能超過脫離速度,是真的可以脫離地球引力圈。

 

當然牛頓沒有能力丟這樣的石頭。牛頓偉大之處,在於不止于此。

他抬頭看到月亮。基本上就是他要的石頭。

他代入 vo = √(2Rg) ;  R 是月地距離 = 384400 km.

g 是重力速度 scale for 月地距離 (proportional to inverse square).

g = 9.8 * (6371/384400)^2 = 2.69e-3 m/s^2

vo = sqrt(2*384400e3*2.69e-3) = 1438 m/sec

vo’ = 2 𝛑 R / T = 2 * 3.14 * 384400e3 / (27.3*24*60*60) = 1024 m/sec

(正確答案是 1022 km/s)

牛頓發現基本上符合.  因此結論地面以及月亮都 follow 同樣的引力公式。

當然 Kepler 的行星三大定律同樣也証實了太陽系所有行星都 follow 萬有引力定律。

 

至於太陽系之外,甚至銀河系之外。則是到脈衝星發現後 (互相繞的中子雙星),也得到証實。

萬有引力的確是牛頓偉大的發現。

 

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