Galois Group 和 Field Extension 一一對應

by allenlu2007

本文主要 focus 在 Galois Group 和 Field Extension 一一對應的關係。

這是 Galois Theory 最核心的部份。

 

cubic root of 2.  and the corresponding fv(t)

 

Galois theory 的核心就是 Galois group 和 field extension 一一對應。

本文就是以例子和圖表來說明。

 

先說 trivial cases:

一次方程式 ax + b = 0

G = E;   α = -b/q ∈ Q.    o(G) = 1    No field extension => [L : K ] = [Q : Q ] = 1

 

二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 

假設 √Δ ∉ Q.    (如果 ∈ Q 就和一次方程式相同) 

G = C2;   α,β ∉ Q,  但 α,β ∈ Q(√Δ)    o(G) = 2 ;   [L : K] = [ Q(√Δ) : Q ] = 2

 

三次方程式和高階方程式就比較複雜。

Ex1:  f(x)  = x3 – 2 = 0  (S3)

前文已說過  G(f(x)) = S3  =>  o(G) = 6

那如何找對應的 field extension? 和 ∛2, ω, and √Δ 的關係為何? 

注意在 p = 0 情況下:

x3+ px + q = 0  如果 p = 0 =>  x+ q = 0

D = -108*[(p/3)3 + (q/2)2] = -108 (q/2)2

+√D = 3 |q| √-3 = 3 |q| (ω-ω2)

Q(√D) ≣ Q(ω)!

 

可以看以下的圖解。最終的 (normal) field extension Q(∛2, ω)/Q 是 Galois.

也就是  x– 2 = 0 所有的根 ∈ Q(∛2, ω)

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但 Q(∛2)/Q 並非是 Galois, 也就是非 normal field extension.

因為並非 x– 2 = 0 所有的根 ∈ Q(∛2).  這不是 normal field extension.  也不會有 normal subgroup 分解 Galois group.

 

相反 Q(ω) 是 normal field extension.  因為 ω 的最小多項式是 g(x) = x+ x + 1 = 0

所有的根 ω and ω∈ Q(ω) 是 normal field extension.  因此對應的 Galois group 可以找到對應的 normal subgroup

分解 Galois group.   g(x) 就是輔助方程式。

 

對於  f(x) = x+ q = 0  =>  Q(√D) = Q(ω)  因此 g(x) = x+ x + 1 = 0 是確實有用的輔助方程式。(based on Galois theory II)

Q(ω)/Q 是 normal field extension for f(x) assuming q 不是一個立方數 (irreducible).  [L : K] = [Q(ω) : Q] = 2  

對應的 Galois group 是 S3,  對應的 normal subgroup 是 A3.   [S3: A3] = 2

 

但並非所有的三次方程式都需要用到 ω.  例如三實根 (但非有理根) 的三次方程式就不是用 Q(ω), 而是用 Q(√D) 作 field extension!  

 In summary, 三次 irreducible 多項式要用 Q(√D) 來作 normal field extension, assuming √D ∉ Q.

只是在某一些情況下 (e.g. p=0),  Q(√D) ≣ Q(ω).

 

一個常見的謬誤是從 Cardano cubic equation 出發。會得到以下的 wrong conclusion:

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1. Q(√R) 而非 Q(√D).  where D = R * -108.    使用 Q(√R) 是錯誤的,因為 ∛ 之後會變成什麼無法直觀看出。

前文有給出極端的例子。看來像是非常複雜的 ∛ 複數可以得到有理數。正確的作法是從 √D 出發。

2. 造成 ω or ω2 的角色和 √R 混淆不清。似乎同時出現 Q(ω) 和 Q(√R) 兩個 extension field.  如上所述,其實只有 Q(√D) 一個 extension field, assuming √D ∉ Q.  在一些情形下 (e.g. p = 0),  Q(√D) ≣ Q(ω).  

3. 在造有理式 r 時,使用 r = α + ωβ + ω^2 γ 似乎也不是很好的 idea.  乍看之下, Q 已經 normal field extension to Q(ω) 似乎可定義 r 的有理式 on Q(ω).  其實有誤!

因為同樣只有在某一些情形下 (e.g. p = 0), Q(√D) ≣ Q(ω).  才能定義上述的有理式 on Q(ω).   

 

在 p=0 情形下,  Q(√D) ≣ Q(ω) :   V1 = ∛-q   V2 = V1*ω  V3 = V1*ω^2    V4 = V5 = V6 = 0

V4=V5=V6=0  makes lots of sense, 因為此時的 Galois group 已變為 A3, 只有三種不同的 outcomes. 而非 6 種!

Q –(2)–>  Q(ω) –(3)–>  Q(ω, ∛-q)   

fv(t) = (t^3 + q) = 0   其實和 f(x) 的形式一樣。但含義不同。fv(t) 是三次式,代表是 A3 group, o(A3) = 3.  

如果是 S3 group, fv(t) 應該是 6 次式, o(S3) = 6. 

 

對於   f(x) = x+ q = 0,  對應的

fv(t) = ( t+ t + 1)(t^3 + q) = 0 ?? 六次式 ??

Q –(2)–>  Q(ω) –(3)–>  Q(ω, ∛-q)   

G = S3 –(2)–> A3 –(3)–> E3

r = α + ωβ + ω^2 γ

輔助方程式

g1(x) = x+ x + 1 = 0  =>  Q(ω)

g2(x) = x+ q = 0 => Q(ω, ∛-q) 

 

 

在 p≠0 情形下,  in general Q(√D) ≠ Q(ω) 

此時不建議用 Cardano solution.  甚至可能是三個實根。ω並無太大用途。

直接考慮 √D ∉Q.  第一步先分解 G = S3 兩個 field. 

例如可以定義有理式

r = (α-β)(β-γ)(γ-α) = √D = √(-108R) ∉ Q

可以看出 r is invariant under the permutation of { (), (231), (312) }, 但 variant under the permutation of {(12), (23), (13)}

r’ = σ(12)(r) = σ(23)(r) = σ(13)(r) = -r 

所以如果 perform r+r’  和 r * r’  會對所有 S3 的 permutation invariant!!!

也就是說 r + r’ 以及 r * r’ 都是有理數。i.e.  r+r’ and r*r’ ∈ Q.  而且可以表示成 p and q 的係數有理多項式!

也就是 z^2 – (r+r’) z + r r’ = 0  = (z-r) (z-r’) 是二次有理式。 有根式解出 r and r’.  

In this case, r’ = -r.   所以 z^2 – r^2 = 0   z = r = √D   —- (1)

或是可以把輔助方程式訂為:

g1(x) = x^2 – D = 0    =>  Q –(2)–>  Q(√D) 是 normal field extension.

Sanity check : 如果 p=0,  D = 3 |q| √-3 –>  Q(√D) = Q(√-3) ≣ Q(ω)

 

r 的選擇並非為一,例如可以定義:

w = α^2 β + β^2 γ + γ^2 α

同樣 w is invariant under the permutation of 

 { (), (231), (312) }, 但 variant under the permutation of {(12), (23), (13)}

w’ = σ(12)(r) = σ(23)(r) = σ(13)(r) = α β^2 + β γ^2 + γ α^2

同樣 w+w’ 和 ww’ 會對所有 S3 permutation invariant.  

w+w’ and ww’ 都是有理數而且可以表示成 p and q (係數) 的有理多項式。

此時 z – (w+w’) z + ww’ = 0 = (z-w)(z-w’) = 0   ——  (2)

=>  Q(√w-w’) 是 normal field extension.  

 

一個自然的問題是 equation (2) 的判別式 Q(Δ) = Q(√w-w’) 是否和 Q(√D) 相等或是等價 (差個有理常數 )?

我原以為不會,但 http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/cubicquarticallchar.pdf

page 3 証明是相等!!  所以 √D 似乎具有獨特性。 我自己也再用更直覺的方式証明如下:

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這個結果可以 push 多遠?  這是一個有趣的問題。如下的一個例子。

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我先做一個根據直覺的結論,但並非証明。基本上就是突顯 √D 的在 S3 to A3 獨特地位。

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上述結論應該適用於 n 次多項式的 Sn to An.  √D 的定義就是:  π (αi – αj).  

αi and αj 是任意相異根。


以下的敘述就比較 jargon:

It is a splitting field over Q for X^3-2, which is separable (沒重根)。

The number of field automorphisms of Q(∛2, ω)/Q is [Q(∛2, ω) : Q] = 6.

因此 o(G) = [ Q(∛2, ω) : Q ] = 6

 

我喜歡的另一個角度是用矩陣乘法來解釋 x3 – 2 = 0 根的 permutation group. 

 

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ω 的 symmetry 是 swap permutation.  最小方程式是 x2 + x + 1 = 0.  次數為 2 (不是 3!).

aσ ∈ (Z/(3))^x  (x 代表非0, 3, …) = {1, 2}.  或是用 {+1, -1} 表示。

∛2 的 symmetry 則是 cyclic permutation.  最小方程式是 x3 – 2 = 0.  次數為 3.

bσ ∈ Z/(3) = {0, 1, 2}.

 

Ex1a: f(x) = x^3 – 3x – 1 = 0  (G=A3)

D = 81 = 9^2!

所以 Galois group = A3.

x1 = 2*cos20 = 1.879 

x2 = -2*cos40 = -1.532

x3 = -2*cos80 = -0.347

by using cos2φ = 2 cosφ^2 – 1

x2 = -2 ( 2 cos20^2 -1 ) = 2 – x1^2

x3 = -2 ( 2 cos40^2 – 1) = 2 – x2^2

x1 = 2*cos20 = -2*cos160 = -2 ( 2 cos80^2 -1 ) = 2 – x3^2

In summary:

x1 + x3^2 = 2

x2 + x1^2 = 2

x3 + x2^2 = 2

所以 x1, x2, x3 滿足 cyclic permutation; 但不滿足 swap permutation!  是 A3 group. 

Q –(3)–> Q(cos20 or cos160, cos40, cos80)  直接是 normal field extension of degree 3.

注意 field extension 不是 Q –> Q(ω) 也不是 Q –> Q(√D)  因為 √D ∈ Q!!

 

 

 

 

 

Ex2: f(x) = x^4 – 2 = 0

x^4 – 1 = 0  的根是和 (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) 相同。

因此可看出是 Galois group 是 C2.   Field extension 是 Q(i)/Q  [Q(i) : Q] = 2.

此處可以照 Ex1 的例子  [Q(∜2, i ) : Q] = 4×2 = 8.

G(f(x)) = D4 =>  o(G) = 8 =  [Q(∜2, i ) : Q]

注意 S4 = 24.  因此並非所有根的 permutation 都屬於 Galois group.  

(但在 x^3 – 2 = 0 所有 permutation 都屬 Galois group).

例如: +∜2 和 -∜2 sum to 0.   但 no field automorphism of Q(∜2, i )/Q could send

 +∜2 to +i∜2 and -∜2 to +∜2 because it doesn’t follow the x + y = 0.

( 0 or e 在 group automorphism 仍然不變)

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上圖左邊和右邊的 path 都沒有問題。但是中間的 path 是如何產生?

如何產生具體的 transition field extension.  還是用 automorphism 來解釋。

r(∜2) = i ∜2 , r(i) = i   and  s(∜2) = ∜2 , s(i) = -i

藉著以上 r and s permutation 以及 power/product 的組合構成的 automorphism. 一共有 8 種 Q(∜2, i )/Q。

如下表:

   NewImage

回到之前的例子: +∜2 + (-∜2) = 0,  and let  +∜2 maps to +i∜2.  有兩種 automorphism r and rs.

-∜2 maps to -i∜2.  仍然 add to 0.  

 

如果 Ex1 還沒有困惑你,這個例子可能會。

 

 

 

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