Galois Group 二次三次四次方程式

by allenlu2007

 

數學女孩的 Galois theory 寫的很好。對於我這種業餘的群論喜好者釐清 Galois theory 應用在代數方程式非常有用。

不過結城浩基本上是 follow Galois 論文的思路。而非之後 Artin or abstract algebra 提鍊過後的抽象代數理論。

這當然不是 Galois 的問題。因為他是開路先鋒。很多的工具當時還不存在。

這個思路的好處是直覺。壞處就是角色太多才能鋪墊出最後的結論。就像讀紅樓夢最好先作一個人物表。不然彼此的關係很容易混淆。

 

幾個常見的名詞

Monic: 最高項的係數為 1

Depressed: 次高項的係數為 0

Separable: 沒有重根

Irreducible: 沒有有理根

Minimal polynomial of α:  包含 α 根的最小多項式。係數一般為有理數且 irreducible.  一般 assume monic.

 

有幾個關連的角色很容易混淆。

1. 主角 1:  f(x) = 0   要解的 m 次 x 的代數方程式。也就是 m 個 x 根。

2. 主角 2:  fv(t) = 0  非常容易搞錯。不論是次數以及根的特性。也稱為最小多項式

書上是用 fv(x) 但改為 t 的多項式避免混淆。 fv(t) 的次數原則上是 n = m! > m 次。乍看之下很驚人。但 fv(t)=0 的 t 根是由 m 個 x 根 linear combination 加上各種置換 (permutation group, 是 Sm 的子群。最大的 permutation group 就是 Sm 自己, o(Sm) = m!).  注意 linear combination 必須打破對稱性。也就是所有 permutation 的根都必須不同!  書上是用 V 代表。不同的根就 label: V1, V2, .., Vn.  其實都 linear dependent.  因此 fv(t) 的 n 次可能是高次,但是係數都 ∈ K, 而且不多。

fv(t) 和 f(x) 或 g(x) or c(x) 不同。fv(t) 是 x 根 linear combination (permutation variant!) 所造出的 t 根的多項式。

 

a.  fv(t) 的可解性 (分解到一次式) 和 f(x) 的可解性是等價

b. fv(t) 的 t 根是 f(x) x 根的 linear combination.  可以消除掉特別的 case, 同時滿足對稱性

e.g  x3 – 1 =0   x = 1 就是一個特殊根。 或是 x^3 – 2 =0 , x=0 是一個特殊根。在 f(x) 看不出根是什麼群。

但在 fv(t) 的多項式可以放在 general framework 判斷就很清楚。後面用二次和三次式做例子。

c.  在 field extension 時。可以很容易 group 如何 reduction by using fv(t).  但在 f(x) 非常困難。!!

 

3. 主角 3:  f(x) = 0 根所對應的 Galois group, 稱為 G.   G 和 fv(t) 是一一對應。而且很容易看出。倒是和 f(x) 的關係需要找到根之後才看的出來。這也是為什麼要引入 fv(t) 的原因。

 

如何找到 f(x)=0  m 個根所對應的 Galois group 是個有趣的問題。原則上 Galois group G 是 Sm group 的子群。

至於是那一個子群是由根所滿足的對稱性決定。這個對稱性又由兩個 factors 決定: (1) 有理式 r 值是否是有理數; (2) 是否 r 是 permutation invariant.    能夠滿足 permutation invariant 的 permutation 所構成的 group 就是 Galois group.

舉例而言:  f(x) = (x-2)(x-1) = 0;  α=2, β=1,  S2 = { e, (21) }   如果讓 r = α-β,  明顯只有 e 可以讓 r invaiant on Q.

所以 G = {e} = E

f(x) = x^2 + x + 1 = 0;   同樣 r = α-β = √-3 ∉ Q.  只有 r 是 (α,β) 對稱多項式, i.e. function of (α+β) or αβ ∈ Q.

所以 G = {e, (21)} = C2  

  

4. 配角 1:  g(x) = 0  輔助方程式,一般是 irreducible。 例如 p 次 (p is a prime number) 的分圓方程式或其延伸。作用是用來 field extension, and consequential group split.  這在後面找 solvable group 時才會用到 (就是逐步分解的過程)。  不過其實在前面解三次方程式時引入 Lagrange resolvent (預解式) 也有 touch 到。其實 g(x) 就是 Lagrange resolvent. Wrong!  應該說 Lagrange resolvent 是一種 g(x).

4a. 配角 2:  Discriminant:  D = …   It helps to judge if swap symmetry exist.

    Discriminant 的定義是任兩根差的乘積。√D ∈ or ∉ Q 的分別是 Sn or An group.  

    or equivalently,  x^2 – D = 0  是 reducible or irreducible on Q => An or Sn (this is trivial)

    另外 f(x) 是 reducible or irreducible on Q(√D) => 更多的 group 特性。見後例 S4 (group decomposition?)

 

4a 可說是 p 次分圓方程式的特例 (p=2).

 x^2 – D = 0  =>   (x + √D) ( x – √D) = 0 ;  看來並沒有特別。

 

如果定義 ζ = -1.    Let r = [ζ^1 θ + ζ^2 σ(θ)]/2   where θ = √D    σ(θ) = – √D  for swap symmetry assuming √D ∉ Q

所以  r = [(-1) √D + 1 (-√D)]/2 = -√D      也就是 r^2 = D ∈ Q    1/2 只是 normalization constant.

 

所有 n 次 irreducible 多項式的 Galois group: Sn 的第一步就是先分解成 An, 就是判斷 √Dn ∈ Q.  如果 √Dn ∉ Q.  可以確定是 Sn.  不然就是 An 或更小的 subgroup. 

 

另一個定義是 θ = α.  σ(θ) = β.  這是假設 σ 是 cyclic symmetry.  剛好在二次式 swap symmetry = cyclic symmetry

同樣 r = -1*α + 1*β = β – α = -√D.  結果和直接用 discrimant 相同。

再提醒在二次式 swap symmetry 和 cyclic symmetry 相同。所以結果一致。但在三次或高次方程式並非如此。

 

因此對於 swap symmetry 先從    g(x) = x^2 – r^2 = 0  where r = ζ^1 θ + ζ^2 σ(θ) = -2√D   ζ 是二次分圓根。 θ 是 discriminant.  σ 是 swap permutation σ^2 = e. 

 

可以推廣到三次分圓方程式 for irreducible cubic equation (p=3)

同樣定義 ζ = ω,  ζ^2 = ω^2,  ζ^3 = 1.   此時可以讓 θ1=α,  σ(α)=β=θ2, σ(θ2) = γ =θ3,  σ 是 cyclic symmetry assuming α ∉ Q

r = ω α + ω^2 β + ω^3 γ = ω α + ω^2 β + γ,  如果再 apply σ (cyclic symmetry) on r

σ(r) = r2 = ω^2 α + β +ω γ

σ(r2) = r3 = α + ωβ +ω^2 γ   這是有名的 Lagrange resolvent 

同樣 r^3 ∈ Q(ω, √D)  (參考數學女孩的証明。只要 p 是質數 r^p ∈ Q).  也就是有 x^p – r^p = 0 公式解!

 

簡單來說,g(x) = 0 最常見的是分圓方程式的延伸:  x^p – r^p = 0.  包含了 check swap permutation 以及 cyclic permutation.

另外 swap permutation 應該改成 odd permutation.  An 則是 even permutation (refer to wiki alternating group)

 

4b. 配角: c(x) = 0  就是一些 resolvent (預解式)。作用是在判斷 f(x)=0 根的 Galois group 屬於那一類 group.  目的也是作 group decomposition.  不過好像沒有一定的公式? 

   e.g.  四次方程式的 resolvent 是三次方程式 (plantet math) 

            五次方程式的 resolvent 是 P10 (10 次方程式) 

 

 

 

How to Define Galois group ?

 

1st order equation:

ax + b = 0  G = E (trivial, always solvable)

 

2nd order f(x) = 0  (o(S2) = 2, subgroup is {E, C2=S2})

if f(x) reducible on Q => go 1st order equation

 

if f(x) irreducible on Q =>

compute D2 = b^2 – 4ac

if √D2 ∈ Q =>  G is a subset of S2 (C2) without swap symmetry => G = E

if √D2 ∉ Q => G = S2 = C2

* In 2nd order reducible on Q and √D2∈Q happens to be the same criterion.  

This is not true for higher order equation.

* 如何判斷方程式是否 reducible on Q ≈ 方程式有有理根 => 可以用 rational root theorem 來 search.

 

此時 f(x) is reducible on Q(√D2).  也就是讓 K1 = Q(√D2) field extension [K1 : Ko=Q] = 2.

就可以讓 Galois group reduce to G1 = E ; o(Go/G1) = 2       Quotient group order = field extension degree!

 

 

3rd order f(x)=0  (o(S3) = 6,  subgroup = {S3, A3, and lower order} )

if reducible on Q => go 2nd order equation 

 

if irreducible on Q =>

compute D3 = -108 * [(q/2)^2 + (p/3)^3]   

if √D3 ∈ Q => G is a subset of S3 without swap symmetry => G = A3 = C3

此時 f(x) is reducible on ∛?

or fv(t) is reducible on ∛?  

 

if √D3 ∉ Q => G = S3

此時 f(x) is reducible on √D3?

or fv(t) is reducible on √D3?

 

Ex1:  x^3 – 1 = 0  

x^3 – 1 = (x-1) (x^2+x+1)  =>  G = C2  o(G) = 2  =>  K1 = Q(√-3)  and [K1: Ko=Q] = 2

x^3 – 2 =>  D3 ∉ Q =>  G = S3   o(S3/A3) = 2   o(A3/E) = 3 =>  [K2=Q(∛2, √-3) : K1=Q(∛2)] = 2  [K1: Ko=Q] = 3

In general,  p = 0 =>  D = 6 * q/2 * √-3 = 3q * √-3 ∉ D 

 

x^3 – 2 = 0 是最有名的例子。  solution 是∛2, ∛2ω, ∛2ω^2.  

因為 √D ∉ Q.  所以 G = S3.

但是 t 多項式呢?  何以參考:

http://www.maths.manchester.ac.uk/~khudian/Teaching/Galois/gallctrs64.pdf

 t^6 + 108 = 0.   對應的 θ = β – γ = ∛2 (ω^2 – ω^3 ) = ∛2 √-3

對應的 extension field :  Q ⊂ Q(√-3) ⊂ Q(θ)

t^6 + 108 = (t^3 + 6√-3)(t^3 – 6√-3) = (t + ∛2 (ω-ω^2) ) …

因為 ω – ω^2 = √-3   (ω-ω^2)^3 = (-3)√-3 = -3 (ω-ω^2)

明天再繼續 !!!

 

 

4th order (S4 = 24)  irreducible subgroup = {E, A4, D8, V4, C4}

if reducible on Q  => go 3rd order equation

 

if irreducible on Q => {E, A4, D8, V4, C4}

First create a cubic function with the same resolvent.  The cubic function see planet math.

If the cubic equation is irreducible

if D4(=D3) ∉ Q  ==> S4?  (yes, see the explanation from planet math)

if D4(=D3) ∈ Q => G is a subset of S4 without swap symmetry => G = A4? yes G = A4

and the rest?

If the cubic is reducible on Q

(a) 3 rational roots:  G = V4

(b) If 1 rational root, and 2 conjugate roots:  G = D8 or C4

     if f(x) (quartic equation) is irreducible on Q(√D);   G = D8

     if f(x) (quartic equation) is reducible on Q(√D);   G = C4

 

5th order (S5 = 120) irreducible subgroup = {A5, D5, C5, F20}

if reducible on Q => go 4th order equation

if irreducible on Q

if D5..   =>  G = S5 (120) not a Solvable group

If D5 ..   =>  G = A5 (60) not a Solvable group

60 = 2 * 2 * 3 * 5

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

 

Define P10(x) the ddcic resolvent of f(x)

 

 

Cubic Equation and Quartic Equation

Galois group theory 一個最重要的特性就是 field extension 和根的 Galois group 以及 split 一一對應。

對於一次式以及二次式 (quadratic) 的 field extension 和 Galois group 非常簡單。

但是到了三次方程 (cubic) 以及四次方程式就突然難度大增。

 

舉例而言,Cardano 在十六世紀就發現三方程式的解 (x^3 + px + q = 0)

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另兩個解是右式兩個三次根項各乘上 (ω, ω^2) 以及 (ω^2, ω).

乍看之下很完美。但例如 x^3 -3x -18 = 0 的一個根是 x = 3.

代入上式得到下式。很難想像答案就是 3 !!  (可以電腦計算估定)

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更極端的例子是 :  x^3 – 7x + 6 = (x-1)(x-2)(x+3).   同樣代入 Cardano:

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除非數學天才,應該很難看出 x = 1, 2, and -3.

同樣道理,很難用 Cardano formula 直接判斷 cubic equation 的根是那類 Galois group.

例如 cubic function 的 discriminant D 乍看之下和 Cardano 的平方根很像,但差了 a (-108) factor.

差之毫釐,失之千里。Galois group 還是要從 symmetry polynomial 和 permutation invariant 著手!

 

之前我一直被困在如何解釋 (-108) factor, 基本上是差了一個 (ω-ω^2) = √-3 factor.   

正規做法是由 Viete Theorem 出發。找到對應的對稱多項式。

http://www.maths.manchester.ac.uk/~khudian/Teaching/Galois/gallctrs64.pdf

Viete Theorem:

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有點拗口。其實就是如果是一個根的對稱 (invariant under permutation) 多項式或有理式。可以表示成係數的多項式或有理式。

舉例而言:  三次多項式的 discriminant D = (x1-x2)^2 (x2-x3)^2 (x3-x1)^2 滿足 S3 所有 permutation invariant.

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可以看到 D 可以表示成 p and q 的多項式!  這就是 Viete theorem.

 

Ex1:  x^3 – 1 = 0  

x^3 – 1 = (x-1) (x^2+x+1)  =>  G = C2  o(G) = 2  =>  K1 = Q(√-3)  and [K1: Ko=Q] = 2

x^3 – 2 =>  D3 ∉ Q =>  G = S3   o(S3/A3) = 2   o(A3/E) = 3 =>  [K2=Q(∛2, √-3) : K1=Q(∛2)] = 2  [K1: Ko=Q] = 3

In general,  p = 0 =>  D = 6 * q/2 * √-3 = 3q * √-3 ∉ D 

 

x^3 – 2 = 0 是最有名的例子。  solution 是∛2, ∛2ω, ∛2ω^2.  

因為 √D ∉ Q.  所以 G = S3.

但是 t 多項式呢?  何以參考:

http://www.maths.manchester.ac.uk/~khudian/Teaching/Galois/gallctrs64.pdf

 t^6 + 108 = 0.   對應的 θ = β – γ = ∛2 (ω^2 – ω^3 ) = ∛2 √-3

對應的 extension field :  Q ⊂ Q(√-3) ⊂ Q(θ)

t^6 + 108 = (t^3 + 6√-3)(t^3 – 6√-3) = (t + ∛2 (ω-ω^2) ) …

因為 ω – ω^2 = √-3   (ω-ω^2)^3 = (-3)√-3 = -3 (ω-ω^2)

明天再繼續 !!!

 

 

如何判斷 Galois Group 

參考 Keith Conrad (UConn)

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/cubicquartic.pdf

 

Monic: 最高項的係數為 1

Depressed: 次高項的係數為 0

Separable: 沒有重根

Irreducible: 沒有有理根

Characteristic 2:  二次方程式(?)

disc f = Δ(f)

☐ = square

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四次方程式的 cubic resolvent 可以參考 wiki Resolvent cubic (definition 4) following from Vieta’s formula.

Cubic resolvent 是由四次方程式根的對稱組合推出。同時 D4 = D3.

 

如何分辨 D_4 group 或是 C4 (or Z/4Z) group?  

Kappe and Warren 的方式:

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Concrete Examples

Keith Conrad (UConn) 給了一些非常實用的例子以及說明。

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/galoiscorrexamples.pdf

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/cubicquarticallchar.pdf

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/galoisappn.pdf

 

三次方程式:

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如果三次方程式的 Galois group 是 A3.  All roots 會產生同樣的 (cubic) field extension of Q.

因為三次方程式有一實根。所以三個根都是實根!   不過反之並非成立。

例如 X^3 – 4X – 1 = 0 的三個根都是實根。但是 S3 而非 A3.  每一個實根都產生自己的 cubic field in R.

 

X^3 – 2X + 1 和 X^3 – 7X – 6 的 Δ=5 和 Δ=400.     但因為兩個多項均非 irreducible!

(X^3 – 2X + 1) = (X-1)(X^2+X-1)  和 X^3 – 7X – 6 = (X+1)(X+2)(X-3).  所以並非 S3 和 A3. 

 

更進一步看 A3 的 Galois group.

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四次方程式:

首先看 S4 的 subgroup 以及對應的 permutation.  (1,1,1,1) 就是 e.  (1,1,2) 是 swap permutation.  

(2, 2) 是 even permutation.  (1,3) 是類 A3 的 permutation(?).  (4) 是 cyclic permutation.

關係是: S4 ⊇ A4 ⊇ V  and  S4 ⊇ D4 ⊇ Z/4Z

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Some examples:

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如何分辨是 D4 or Z/4Z 請參考 reference.

 

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