Switching Regulator – 類 Double Integrator System and Compensation

by allenlu2007

 [Ref 1] TI AP note: Demystifying Type II and Type III Compensators Using OpAmp and OTA for DC/DC Converters

下圖是一個常見的 switching buck converter.  一個簡單的記法和解釋就是 Input 在 Vcc and 0 切換。藉著調整 controller duty cycle (PWM),經過 LC low pass filter 濾掉高頻 (and switching) noise 而得到 desired DC value.  由於 switch 總是在 on-off 切換,同時 inductor and capacitor 都是 lossless components (ignore ESR). 所以 switching converter 是個高效率的 converter (比起 linear converter)。

這個解釋並沒有錯,只是比較像 signal processing 的詮釋。簡單說就是把 power 當作 DC “signal”.

這失去一些 power 中最重要的部份: 就是 energy 的 store, transfer, and swap; 以及更重要的 momentum or angular momentum (相當於 inductor current).  Inductor 在 power 中扮演的極重要角色做為 energy/momentum storage and transfer device.  可以說沒有 inductor 就沒有 switching converter.  如果單純從 signal processing 的角度是看不出來。

 

另一種看法,類 double integrator system

前文做 mechanics analogy 借鏡,把 inductor 類比為 flywheel (動能), capacitor 類比為 spring (位能)。有了動能和位能 or (q, I=dq/dt,  q=cv,  I=dq/dt=c dv/dt)  

            (q, I)  I=dq/dt,  V=L dI/dt = q/C –>  I=dq/dt,   q=(LC) dI/dt

類比於  (x,v)  v=dx/dt,  F=mdv/dt = kx  –>  v=dx/dt,  x=(m/k) dv/dt

這是一個 2nd order LPF system.  但並不是一個 double integrator (1/s^2).  

以下圖為例  1/(1+LC s^2).  並不完全是 double integrator.  但可視為 類 double integrator, 在 angular frequency ω > 1/sqrt(LC) 時和 double integrator behavior 一樣。只有在 DC 時,  LC LPF 和 double integrator 才有差異。

即然 k = 1/C (spring constant = 1/capacitance), double integrator 是 k=0 (沒有或很小位能的 special case).  相當於 C 很大時的 case.  

所謂 double integrator 就是 output virtual ground (C 很大).  有一點要注意,x ~ q, double integrator 的 x 對應的是 q (charge), 而不是 V (voltage).   q = CV , C 又是很大。如果 given V (通常 case), 可以算出 q =  CV ~ e (很大)

Double integrator control 問題就是:

(0) C 很大, L~mass; (i) 在 initial condition (Vcap, IL) ~ (e, e_dot);  (ii) 外部電壓源 (正電壓或負電壓) ~ (external force);  (iii) 需要 feedback controller 控制外部電壓源最後讓:

Vcap=0 or Vref  換算成 qcap = 0 or C*Vref

and IL=0 or Iload

從 phase plane 的 trajectory 的角度

(e, e_dot) ~ (q, q_dot) ~ (q, I) = (0, 0) 和 (C*Vref, Iload) 基本上是一樣。

 

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Switching Converter 的類 Double integrator control 問題就是:

(0) Finite C and L, 因此是 LPF 而非 double integrators; (i) initial condition (Vcap, IL);  (ii) 只有兩個外部電壓源 (+Vdd, -Vdd) or (+Vdd, GND) 相當於固定推力和拉力的 bang-bang controller;  (iii) 需要 feedback (bang-bang) controller 最後讓 Vcap = 0 or Vref;  IL=0 or Iload.

還有一個重點: 上圖是 buck converter.  對於 boost converter 也適用,因為 power 仍需經過 inductor 和 capacitor.  

 

Stability – 如何 Compensation

基本上可分為 linear compensation 和 non-linear compensation.  本文 focus 在 linear compensation. 

首先 LC 的 open loop response 很簡單。  1/sC / (sL + 1/sC) = 1 / (1 + s^2 LC) 

At DC (s=0), phase shift = 0

At > 1/sqrt(LC), phase shift ~ 180

基本上沒有 90 度 phase shift 的區間 (非常 narrow when Q is high)

 

要解決 phase margin 問題。最直接的方法就是在 ω~1/sqrt(LC) 時加上 positive phase shift (就是 zero).  

比較大的問題是 C (and L) 並非是固定值。但多半是在一定 range 內 (1uF ~ 10uF).  太小會造成 voltage ripple when load current change.  太大則會造成 bandwidth 變小。

要有比較大的 C and L 容忍值,就有 type II and type III compensator.

 

TYPE I compensator

不過第一步最簡單的 compensator 仍然是 type I compensator. 其實就是 I controller (~ 1/s) 如下。

注意常用的 lag compensation (1/sC // R) 並不需要。因為 LC 在低頻 phase=0, 在高頻直接跳到 -180.

因此 controller 直接用 integrator (I controller) (-90 phase shift) 就可。

 

Type I 最大的問題就是頻寬太小。

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TYPE II compensator

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E.g.  L=C=10u,   f = w/2pi = 16kHz  剛好如上 compensator phase shift peak.

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TYPE III compensator

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Stability -> Transient Behavior – 如何 Compensation

上文討論 compensator 主要著眼在 stability.  However, 很多時候 transient behavior 如 overshoot, settling speed 也非常重要。

這就帶入 optimal control 的觀念!

(注意在 bounded force constraint 下,optimal controller 是 bang-bang controller, 其 controller algorithm 基本上都不是 linear compensator.  而是 nonlinear compensator)

先從 linear compensator 來說。

上文只有用 e (~q or Vcap) 來做 feedback.  如果多了 e_dot (~Icap or IL) 則可以多了一個 information 在 phase plane 上。可用的 control algorithm 又可以多一些, e.g.  PD controller, or LQG controller.  不過最後都要 digitize 成 bang-bang control.   多了一些 information 一般還是會多一些好處。不過要確定是正確的 information.  例如 e_dot ~ Icap ~ Iesr ~ Vesr 在 capacitor ESR 很小時有可能很 noisy.   要確定不會造成誤判。最簡單做法就是 increase capacitor ESR 值。但會造成 output ripple 太大。

 

Nonlinear compensator 包含 SMC 以及其他  minimum time controller.  剛好可以結合 switching regulator bang-bang 特性。To be added.

 

 

 

 

 

 

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