Photo Number State, Coherent State, and Squeeze State

by allenlu2007

 

前文提到 EM wave/field 在二次量子化 (Oops! 應該說量子場化) 之後產生粒子的特性。

最特別也是基本的 zero-energy state or vacuum state.  在 SWE 對粒子的 harmonic oscillator 分析也有同樣的 zero-energy state or ground state.

簡單來說,根據測不準原理。我們不同能同時知道 particle 的位置和速度 (q and p).  古典力學的靜止狀態 (zero-energy state) 代表 p and q 都為 0.  在 QM 是不容許這種狀態。這在粒子的 harmonic oscillator 的 zero-energy state or ground state 可以看到。Quantum harmonic oscillator 的圖解以及 wave function 如下 [Quote]。

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比較有趣 (也難以想像) 的是 EM field 的 quantization 之後的 zero-energy state or vacuum state. 居然也是 Gaussian wave function 如下: [Quote]

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注意 vacuum state 是 “0” 個 photon.  並不是一個 photon 在原點 vibrate (比較 quantum harmonic oscillator 的例子).  那為什麼還有一個 Gaussian wave function 存在 (vacuum?)   I don’t really know.  我想 Feynman 當初也不知道。雖然他發明了 re-nomalization technique 避免 divergent 問題。

不論如何,EM field 的 zero-energy state 和 quantum harmonic oscillator 的 ground state 基本上長的一樣。除了沒有 m (or m=1), 其他都一樣。

有趣的是 quantum harmonic oscillator 的能階差是 hw 和 m 無關。後面會提到 photo number eigenstate 之間的能階差也是 hw.  這不是巧合,photon (hw) 是 EM field and ? 的 boson, 就是交易的基本單位 ( 一塊錢?).  不論是氫原子的能階跳躍或是 black body radiation 都是和 quantum EM field 交換 photon. 

 

注意如果存在多個 photons,  會接近 Maxwell equation solution? Depends on which eigenstates

Photon number (Fock) state (precise amplitude, random phase);  

Phase state (random amplitude, precise phase);

Coherent state (fuzzy amplitude and fuzzy phase);

Squeezed state (better amplitude but fuzzier phase; or better phase but fuzzier amplitude)

 

Coherent State is phase coherent state, but amplitude is Poisson distributed!!!  Shot noise?

 

Photon Number (Fock) State (Hermitian operator : observable)

Photon number eigenstate 是最基本或簡單的 orthogonal eigenstate, 其 wave function 如下和 quantum harmonic oscillator 一致: Hermite-Gaussian function.

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Photon Number State 的圖解如下。(“0” state 是否真能看到如下?)

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當 n 夠大時 EM field 如下:

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Phase State (non-Hermitian)

Phase state 並非常用的 state; 同時也非 Hermitian, 因些非 observable.  但是 {cos(phi), sin(phi)} pair 是 observable.  

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當 s 夠大,EM field 如下:

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Coherent State (non-Hermitian)

一般的 laser beam 都屬於 coherent eigenstate.  圖解如下:

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一個有趣的現象是 coherent state 的 photon number 是 Poisson distribution.  當 n 大, optical SNR ~ sqrt(<n>) 而非 ~ <n>.  Electrical SNR ~ <n>.

因為 Poisson distribution 的 variance ~ <n>.   當 n 小, 會有所謂 quantum noise (BER ~ exp(-<n>))  通常用於光通訊。

Coherent state 的 expectation value 就是 classical Maxwell equation 的 solution.  Laser source 所產生的 EM field 基本上就是 coherent state.  其他的自然光源也多半是不同的 coherent state statistical mixture!  

真正的 photon number state or squeezed state 需要特別的方式才能產生。

可能會認為 photon number state 是最基本 state, 應該很容易產生和觀察。其實維持 photon number 不變非常困難。Nature 有一篇文章討論如何產生和維持 photon number state (Fock state) by 0.2 sec.  並 demo two photons state.  注意 one photon 同時是 photon number state and coherent state.  需要 two photons for a clear photon number state. 

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Squeezed Coherent State (Phase squeeze state and amplitude squeeze state)

Phase squeezed state 可用於 gravitational wave 干涉儀 detection (LIGO). 

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