EM Wave/Field and Lattice Wave Quantization

by allenlu2007

Again, 本文主要 summarized from M.Y. Han “A Story of Light – A Short Introduction to Quantum Field Theory of Quarks and Leptons”.

前文已經提到 wave equation 如何 quantize 的步驟。觀念上就是從 wave 轉為 particle (boson) 的步驟。

也可說是從 Schrodinger (wave) view 轉為 Heissenburg (particle or operator) view.

通常 (classical) particle 轉為 (probability) wave function 的過程稱為第一次量子化。而把 (EM/probability/lattice vibration) wave function 轉為 (boson) particle 的過程稱為二次量子化。就是本文討論的量子場論 (QFT).  前文提到 二次量子化會產生一些混肴。最好稱為 QFT.

 

Roadmap for Field Quantization

(1) Start with wave equation or field equation (e.g. EM field, Klein-Gordon, or Dirac fields) 

注意 Schrodinger Wave Equation (SWE) 並不滿足相對論 (Lorentz transform).  Dirac 修正為包含 spin 的 Dirac field. 

(2) Defines Lagrange’s equation of motion of the field.

(3) 找出 canonial formalism of fields 的 canonically conjugate momenta (i.e. field and momenta). 

(4) 下一步就是 Heissenburg’s view (引入測不準原理, particle view or operator view) => 就是 impose commutation relations on canonically conjugate paris.  或是 Poisson bracket.  此時 field and momenta 就轉為 operators. 

以上四步驟就是 QFT in a nutshell. 

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以下用 EM wave/field 為例:

此時 field 是 space-time 4D field.  暫不考慮 spin 部份,spin 由 Dirac equation cover.

m=0 就化簡為 Maxwell wave/field equation.  

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回到 QFT 四步驟:

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下一步就是 for integer spin (including 0), use Poisson bracket (commutator) for boson.

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如果是 half integer spin (如電子), 必須用 anticommutator (Pauli exclusion principle) for fermion.

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可以參考 Stanford notes. 

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所以最後的 operator 是 a and a+.  

同時原來的 wave function (or field function) 仍然存在! 變成 base state.  –> completely wrong!!!

Vacuum state wave function 當然不可能從 Maxwell equation 而來。而是根基於 QM 的 Schrodinger wave equation.  請見後文。 

 

以下用 Lattice Vibration Wave (Phonon) 為例: 

可以參考 Wiki phonon.

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Photon and Phonon 基本上的異同:

相同處:  both are bosons;  

相異處:  

Photon

* m=0

* w/k is linear in free space (no dispersion)

Phonon

* m>0

* w/k is nonlinear in lattice (dispersion) 如下圖。(e.g. in bulk silicon, 也稱為 acoustic dispersion)

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更有趣是兩種原子交錯排列 (如 GaAs):

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會多出 optical dispersion.  注意兩者的 group velocity 剛好相反。

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