二次量子化以及量子場論 (Quantum Field Theory or QFT)

by allenlu2007

本文主要 summarize 自 M.Y. Han “A Story of Light – A Short Introduction to Quantum Field Theory of Quarks and Leptons”.   對於想了解 QFT 基本觀念的人 (like me), 這是很好的 introductory book.

量子物理 (Quantum Mechanics, QM) 最基本也是最重要的觀念就是能量的量子化 (quantization) 以及 particle-wave duality (粒子波動二元論)。  

早期的 QM 大多聚焦在(帶電) particle 如電子,質子的波動化以及量子化。最有名的結果就是 Schrodinger Wave Equation (SWE).  在 potential function (force = gradient of potential) 中能量自動量子化 (能階等於 discrete eigenvalues).  這可以稱為第一次量子化。就是把 particle (fermion) 引入 wave 的特性而產生能量的量子化。

不過這只解決一半的問題。另外仍無法解釋:

1. 光電效應指出,光或電磁波 (EM wave or EM field) 也具有粒子性 – photon.  不論是 Maxwell equation 或是 SWE 都無法處理 EM wave 的量子性。意即 SWE 似乎只對 fermion 有效,但無法處理 boson.

2. SWE 和相對論抵觸。在粒子低速時大致 ok.  但在高速或和 EM wave interact 時只是近似,甚至可能會有矛盾。因為 EM wave governed by Maxwell equation 遵守相對論。

3. 雖然帶電粒子 (電子, 正子, 質子, .. ) 已量子化,但和 EM wave 如何 interact?  直覺來說,如果 EM wave 是 continuum 而非 discrete, 會和已 quantized 的帶電粒子觀念相抵觸。因些 EM wave or EM field 應需要被 quantized.

3a.  帶電粒子 (電子, 正子, 質子, .. ) 彼此之間如何 interact?  例如電子撞到質子? 或是電子撞到正子? 根據相對論,不可能是超距力。一定要和 EM field 作用,再相互影響。簡單來說,EM field 的 interactive boson 就是 photon.  任何帶電粒子之間的 interaction 都需要透過 photon interact.

4. 除了 EM wave 之外,SWE 的 wave function (機率波) 是否也能被 quantized?  如果可以,不是形成一個無窮迴圈?  particle — (quantized) –> SWE wave function — (quantized) –>  ??  particle ?? — (quantized) –>  ?? wave …????????    

Ans:  Yes!! SWE 的 wave function 和海森堡的矩陣力學,也就是 quantized representation, 已經被鮑力証明是完全等價。也代表的波粒二相性。諷刺的是 Schrodinger 和海森堡都不喜歡這個結論。因為他們都相信自己才是對的。Schrodinger 認為萬物皆是 wave.  海森堡認為萬物皆量子化,並 follow 測不準原理。

簡單來說, SWE 本身已內稟量子化。不需要再 quantized.  就像 Maxwell wave equation 已經把電場波和磁場波內稟。不需要分開由電場波->磁場波->電場波-…..

 

5. 其他的 wave or field 也可以被 quantized? 產生新的 particles 嗎?

Ans:  Yes!!  例如重力波也可以被 quantized 產生 graviton (重力子)。Crystal vibration wave 可以被量子化產生 phonon (聲子)。但量子化要有目的。並非為量子化而量子化。主要是要和其他微小粒子產生交互作用時需要將場或波量子化。

 

Some answers to the above questions

Q2 比較單純。SWE 本身違反相對論,因此只是近似。Dirac 很早就了解這個問題,並引入相對論到 QM 解決這個問題。所謂 Dirac equation 是 SWE + 相對論 的結果。Dirac equation 同時解決了帶電粒子 spin 的問題,以及預測反物質的存在 (正子, 反質子, etc.)

Q1, Q3, Q4, and Q5 就是 Quantum Field Theory, QFT 所解決的問題。For some reason, QFT 也常被稱為二次量 子化。後面會說明二次量子化並非很好的所法。

 

Q2: EM Field Quantization – Photon 

EM wave or EM field 需要被 quantized based on 光電效應 (photons) in Q1 以及需要和量子化的帶電粒子 interact.  這就是 EM wave 的(第一次)量子化。產生的結果就是 photon.

In general, wave 或 field quantization 包含幾個步驟和產出:

(a) Wave equation.   (Schrodinger view,  注意不是 SWE; 而是 wave view 通稱為 Schrodinger view, 有別於 Heisenburg 的 particle view)

Schrodinger view –> wave view –> wave equation

Heisenburg view –> particle view –> conjugated operator (測不準以及 create / annihilation operation) 

 

(b) Lagrangian of field density

 

(c) 引入 conjugated operator –> 最後可以得到 creation/annihilation operator (always boson?)  (Heisenburg view)

 

以 EM wave or EM field 為例。

Step (a):  Maxwell wave equation

Step (b):  Lagrangian density function using potential and vector potential field.  How about gauge transformation?  It should be very important in QFT

Step (c):  引入 Poisson bracket 導入量子化。從 p and q operators 轉為 a and a+ (creation and annihilation operators).  每次增加一個或減少一個 photon.  能階也自動量子化。

 

Q3 and Q4:  帶電粒子機率波量子化:

Q4 是否其他的 wave function (如機率波) 也如同 EM wave 可被量子化?  Yes. 這也是 QFT 也被稱為二次量子化的原因。相對於第一次量子化是把 particle 引入機率波而產生能階量子化。    

但二次量子化很容易 confuse.

(i) 對於帶電 particle 可說是二次量子化。但對於原來就是 EM wave or EM field 只有第一次的量子化,並沒有二次量子化。  

(ii) 二次量子化會有無窮迴圈的聯想。 其實第二次的量子化是要解決帶電 particle 和 EM field 的 interaction 以及 particles 之間相互的 interaction.  並非像第一次量子化是要解決粒子本身的 particle-wave duality 的特性。因些二次量子化產生的 particle 並不是本身 (例如電子 wave function 二次量子化產生 photon 而非電子本身)。基本上產生的都是 boson? 負責 interact with field. 

  

Q5:  其他的 field 也有 QFT 嗎?

Yes.  

簡單的像是 solid state physics 的 acoustic wave, quantized 之後產生 phonon (m > 0)

Phonon 推導過程和 EM wave quantization 一樣!!!

最簡單的 gauge field (EM wave) 的 boson 產生 photon (m=0)

Weak force 是稍為複雜的 gauge field 的 boson 產生 W and Z bosons (m > 0)

Strong force 的 gauge field boson 是 gluon (m>0)

Gravitation field 的 boson 產生 graviton (m=0?)

W, Z, and gluon 的 m > 0 和 Higgs boson 有關。之後再討論。


如何得到 boson? 就 follow EM wave quantization 的步驟。

 

Conclusion:

避免用二次量子化描述 wave quantization。最好用 QFT 量子場論。 

 

 

 

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