常見 Sigma Delta Modulator 架構

by allenlu2007

本文主要 focus 在 CIFF, CIFB, EF, and MASH 四種常見的 SDM 架構 

CIFF With or Without Signal Feedthrough

CIFF w/o feedthrough (no local feedback in F)

Pros:  simple; NTF zeros is stable over coefficient variation (a1, .. an) 主要影響 STF 

Cons: NTF+STF=1.  無法單獨調整。舉例而言,如果要讓 STF wide-band, NTF 則變為 narrow-band (sounds good, what’s the problem? 也許 STF narrow-band 會讓 NTF too wide band?)

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How to solve the problem?  Add another degree or freedom (DOF): signal forward path 如下圖。理論上 F 可以用來調整 NTF as before.  但多了 G 可以用來調整 STF, 但不會影響 NTF.  注意 G 是 an 和 bn 的 combination, 不過最常見也是最簡單就是 G=1.

In this case:  STF=1;   NTF=1/(1+F).   意即 wide-band signal can pass the SDM.  F 可用來 optimize noise performance without impact STF.

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CIFB With or Without Signal Feedthrough

接下來是 CIFB.  首先是 no input signal feedthrough

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CIFB 的 NTF 基本上和 CIFF 的 NTF 一樣。唯一不同是 coefficient 順序相反 (1, a1, …, an) vs. (1, fn-1, …fo).  這很容易從 block diagram + Mason Gain Rule (MGR) 看出來。

CIFB 的 STF 則和 CIFF 不同。雖然都是 LPF with n poles, CIFB 的 LPF 很單純很多沒有任何 zero.  CIFF 的 LPF 則有 n-1 個 zeros.  

另一個觀察: CIFF 的限制是 NTF+STF=1.   CIFB 的限制是 STF 是 NTF 的 s -> 1/s transform (assuming 1, fo, f1, .. 左右對稱)。如果要讓 STF 非常 narrow-band, CIFB  NTF 似乎比較好。相反如果 STF 要 wide-band, CIFF 似乎比較好。


對於 digital SDM (如 SDM DAC or fractional N synthesizer) 來說,CIFB or CIFF 差異不大。但對 analog SDM (如 SDM ADC),CIFB 似乎比較容易 implement.  原因之一是 CIFB 是逐級 feedback, 電路的設計和佈局上比較可以 reuse and scalable.   CIFF 則是把所有的 summing or feedback 都集中在一級 (feedback 在第一級,summing 在最後一級)。 

另一個觀點是 dynamic range.  CIFF 的 cascaded-integrators 是最後一起 sum.  如果最後 integrator saturate, 整個系統也許只由 n-th order 逐漸變為 (n-1)-th order, 但仍可運作。但 CIFB 最後 integrator 如果 saturate, 整個系統會 fail.  

 

再來是 CIFB with feedthrough 如下圖。

CIFB with feedthrough 的 G 只影響 STF, 不影響 NTF.  這和 CIFF with feedthrough 一樣。

CIFB with feedthrough 的 G 很單純,只有 bn, 與 fn 無關。CIFF 的 G 則會 depends on bn and an.

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如果讓 fo=bn=1; b1=f1, b2=f2 …  可以得到 STF=1 (注意 bx 和 fx 的正負相反,互相 cancel).

or let f = 1/s^n and STF=1, 得到 G = 1 + B/s^n – 1/s^n, 也會得到同樣結論。

STF=1 除了有 wide-band 的特性之外 (有些應用反而希望 low-band to filter input noise).  還有一個好處就是 low-distortion (for analog SDM) 如下。

 

Low Distortion SDM Architecture

In general, Y = X * STF +  N * NTF

如果 STF=1, 同時 feedback 時的 error signal E = X-Y = -N * NTF

Two condition for low distortion:   STF=1  and E=X-Y

在進入 integrator (1/s) 時,不論是 integrator 的 input or output 都只有 noise term 而不包含 signal term.  

對於 analog circuit design 的 opamp (base on integrator) design, 因為沒有 signal, 不會有 signal dependent 的 distortion (nonlinearity) or saturation.  

相反如果 STF><1, e.g. STF=1/(1+s) ==>  E = s/(1+s)*X – N * NTF after 1/s (integrator) => 1/(1+s)*X – N*NTF/s

input signal X 出現在 integrator output 在大信號時可能會造成 harmonic distortion at opamp output.

在 CIFF 架構中,只要讓 G=1, 無論 F 為何,都自動變為 low distortion SDM.

在 CIFB 架構中,稍為複雜一點。要讓 fo=bn=1; 同時 b1=f1, b2=f2, ….  主要就是讓每一個 integrator 的 feedforward signal (X) 都被 feedback (Y) cancel 掉。因些每個 integrator 的 input or output 都只有 noise term.

 

Error Feedback (EF) 架構

除了 STF=1 的 case, 另外一種方式是 EF (error feedback) 架構。先說結論: EF 的 STF 雖然等於 1, 但因為 EF 架構對 gain error 非常 sensitive.  一般只用於 digital SDM implementation.  所以 low distortion 並沒有太大的意義。不過我們還是看一下 EF SDM 的作法。

1st order EF SDM 架構如下圖 (1, -1)。觀念上很簡單,就是把 error signal feedback 回 input 先減掉,再經過 quantizer 加回 error signal.  但考慮 break algebraic loop, 就加上一個 delay.  考慮 X 是 low frequency signal, one delay 並不影響最後的 error cancellation.   這個小技巧也可以用在高階 SDM 的最後一級或 SAR ADC 如下下圖。

Y = X + (1-z-1)E

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2nd order EF architecture 如下 (1, -2, 1); 更高階類推 (1, -3, 3, 1)…

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EF 架構的重點是 very sensitive to gain error.   主要原因是 NTF 的 (1-D) or (1-2D+2D^2) 是由兩個或三個不同的 path 組合而得的。各 path 的 gain error 會直接影響 NTF 的 zeros. 

舉例而言,1st order EF SDM

Y = X + E – a * E * D = X + (1-aD) E   –>  (1-D) 變成 (1-aD)

相比之下,傳統的 CIFF or CIFB SDM 架構 gain error (只要不是在 integrator 內) 只稍微 modify STF/NTF.

Y = D/(1-D+aD) X + (1-D)/(1-D+aD) E

因此主要是用在 digital SDM 的 implementation, 而少用在 analog SDM.  因些雖然 STF=1, 似乎並沒有太多的好處。(不過 1-st order EF 似乎可用在某些高階 SDM or SAR ADC 的最後一級增加 noise shaping gain).

 

MASH 架構  (Error Feedforward)

相對於 EF SDM, MASH 則是把 error signal feedforward and quantized.  最後在 digital domain (for ADC) or analog domain (for DAC) 再把 error signal cancel 如下圖。

以下圖而言,stage 1 明顯不是 low distortion:

Y1 = X D + Q1 (1-D)  ==>  E1 = X – Y1 = X (1-D) – Q1 (1-D) 經過 integrator 後 ==> X D – Q1 D 和 X 直接相關。

但是 stage 2/3 都只 feedforward Q1 and Q2 和 X 無關 (to the first order).  因些 stage 2/3 的 opamp 基本上只看到 quantization noise (to the 1st order).   

如何解決 stage 1 的問題也很簡單,就是把 stage 換成 low distortion 的架構 (CIFF or CIFB with feedthrough).

可以參考此文 by J. Chiang。

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