Gaussian Mixture Model for Jitter Separation

by allenlu2007

 

 

相關的討論請見 reference.

Jitter 分析對於 clocking 相關的應用絕對重要。例如常用的 Oscillator (LC tank or ring oscillator) 和 PLL 最重要的參數都是 jitter.  很多 jitter 分析都注重在 intrinsic jitter, 由於 intrinsic noise (e.g. thermal noise, shot noise, or flicker noise) 造成的 random jitter (RJ).  

實務上大多數的系統是由 system jitter 而非 intrinsic jitter 所決定。系統 jitter 可能來自 power or ground noise, inter-symbol interference (ISI), or discrete quantization noise (digital PLL), 干擾或 crosstalk.  一般而言,system jitter 可能遠大於 intrinsic jitter.  

System jitter 包含兩部份: random jitter (RJ), 大多由 random noise 引起。以及 deterministic jitter (DJ), 大多由 ISI, interference, crosstalk, or discrete quantization noise 引起。能夠分析 ( separate and identify ) 不同的 DJ and RJ 對於了解以及找到 system jitter 的 root cause 至關重要。也才能改善 jitter performance, 例如 PLL jitter performance.    

Gaussian Mixture Model (GMM) 剛好是分析 jitter separation 的好工具。DJ and RJ 很自然對應到 GMM 中不同 Gaussian 的 mean and variance.  Weight 則對應到不同 Gaussian 發生的頻率。


Total jitter (TJ) 包含 random jitter (RJ) and deterministic jitter (DJ).  

一個做法是用 two Gaussians curve 來 fit 測量到的 jitter data 如 tail-fitting algorithm. 

NewImage

當然這個方法有很多問題。很多時候 two gaussians 不夠,無法正確描述 jitter 特性。如果兩個 Gaussians 很近,很難分辨。還有其他的缺點。


Jitter Separation Using GMM

假設 random jitter (RJ) 是 Gaussian PDF:

NewImage

The general expression of total jitter TJ  PDF 就是一個 GMM:

NewImage

以下的定義是 over-simplified 的定義:

NewImage


EM Algorithm Solving GMM

要找 GMM 的參數,最常用的是 ML estimation: 意即給予 x = {x1, x2, .., xN} 實驗 data, 估計 Eq (2) 中的 weight, mean, and variance.  
NewImage

前文提到如何用 EM algorithm 來估計參數。基本上是由初始值 \lambda_{0} 開始,迭代而得到 \lambda_{1} , 同時 

NewImage  


  

NewImage
 
NewImage
NewImage
 
DJ = 290ps
sig1 = 65ps
sig2 = 79ps
 
 
 

EM Algorithm Problem

Initial value, or it may get local minimum 

and need to have known M

This can be solved by Kurtosis-based EM algrothm


Kurtosis-based EM Algorithm

The key issue is to get the clustering number M, and corresponding initial value.

Likelihood value 雖然用來收歛 estimated parameters.  但對於 fit data 卻不見得有效。請參考        for details.  

 

Quantum mechanics

Hidden markov chain






 

 


 

 

 

 

 

 

Advertisements